Расчет оптимальных параметров пи регулятора с помощью рафчх

Расчет по этому методу получают аналогично критерию Найквиста: если система разомкнутая, то она имеет степень колебательности не ниже заданной, если – замкнутая, то система будет обладать заданной степенью колебательности в том случае, когда РАФЧХ разомкнутой АСР будет проходить через точку , . Т.о. запишем:

,

где m – степень колебательности:

а ψ – коэффициент затухания:

Т.о.

Это отношение разности двух соседних положительных амплитуд переходного процесса к первой из соседних амплитуд.

Расчет производится посредством выделения вещественной и мнимой части РАФЧХ.

Порядок расчета следующий:

1. Подставляя в передаточную функцию объекта и регулятора вместо выражение , получим РАФЧХ объекта и , соответственно.

2. Из теории, по критерию Найквиста запишем, запишем:

.

3. Выделим вещественную и мнимую части: , , где:

.

4. Путем алгебраических преобразований получим зависимости:

.

5. Строится график параметрической зависимости и откладывается точка чуть левее максимума. Координаты этой точки будут соответствовать коэффициентам ПИ регулятора: K_P – C₁, K_I – C₀.

Как это делается на практике!

На первом этапе надо получить аналитические выражения для параметров C₁ и C₀. Это сделать трудно, но можно, согласно алгоритму описанному выше.

Передаточная функция ПИ регулятора описывается выражением:

,

где C₁ и C₀ соответствуют пропорциональному и интегральному коэффициентам регулятора. Подставляя вместо оператора Лапласа значения , получим выражение РАФХ для ПИ регулятора:

.

Аналогичную подстановку сделаем и для передаточной функции объекта:

1-ого порядка:

2-ого порядка:

Полученные выражения подставляем в (1). Выделяем действительную и мнимую части и решаем систему уравнений относительно и , подставляя численные значения , , , и выбранную степень колебательности m.

В общем случае для объектов 1-ого и 2-ого порядка C₁ и C₀ имеют вид:

где для объекта 1-ого порядка:

для объекта 2-ого порядка:

Далее, задача сводится к построению графика зависимости , где . Для этого требуется получить массивы значений для и . Эта процедура производится посредством циклического вычисления значений для и при увеличивающемся значении частоты с постоянным шагом. График строится до тех пор, пока первый раз не пересечет ось абсцисс, т.е. пока – используется оператор цикла while. Отметим, что шаг изменения частоты надо взять таким образом, чтобы количество точек графика от начала до пересечения с осью абсцисс было в пределах от 25 до 40. Далее определяются координаты точки, соответствующие максимальному значению – функция max. Следующая за ней точка с координатами по ω и будет соответствовать оптимальным параметрам ПИ регулятора. Записываем передаточную функцию ПИ регулятора:

sysReg=tf([C0opt C0opt],[1 0])

Построение переходного процесса системы и снятие его параметров

Построение переходного процесса

Когда получены передаточные функции для объекта и регулятора, можно получить общее описание системы управления с обратной связью и построить график переходного процесса системы управления.

Для начала перепишем модели объекта и регулятора в переменных пространства состояний:

sysReg=ss(sysReg);

sysObj=tf(sysReg);

Как было сказано выше, это связано с тем, что операции с моделью, которая имеет запаздывание, адекватно реализуются только в переменных пространства состояний.

Далее формируем контур отрицательной обратной связи

sys=feedback(sysObj,sysReg);

Отметим, что регулятор расположен в обратном контуре. Получив общую модель системы с помощью функций step и plot строим график переходного процесса:

[ypp,t]=step(sys,t);

plot(t,ypp);

Снятие параметров переходного процесса

Параметрами переходного процесса являются

– динамическая ошибка ;

– статическая ошибка ;

– время регулирования .

Динамическая ошибка – это максимальное отклонение от установочного значения. Другими словами, в данном случае – значение максимального всплеска (первого), которое определяется, как наибольшее значение из элементов вектора ypp.

Статическая ошибка и время регулирования взаимосвязаны. Обычно при расчете с помощью РАФЧХ в качестве статической ошибки берется величина второго положительного всплеска, а время, при котором произошел этот всплеск, будет соответствовать времени регулирования. Т.о. координата максимума второго положительного всплеска по оси абсцисс будет соответствовать времени регулирования, а по оси ординат – статической ошибке.

В качестве одного из возможных вариантов определения статической ошибки предлагается следующее:

– определить минимальное значение вектора ypp:

[ymin,n]=min(ypp)

– обнулить первые n значений:

ynew=ypp; ynew(1:n)=zeros(1,n);

– определить максимальное значение нового вектора и определить значение элемента вектора времени с тем же порядковым номером.