16.Лінійна залежність векторів. Теореми про лінійну залежність системи векторів.

Сук-сть упорядкованих сис-м з n дійсних чисел , для яких визначено дію додав. і множення на число, утв. n-вимірний векторний простір V_n.

Сис-ма векторів ā₁, ā₂,…,ā_r наз. лін. залежною, якщо існують такі числа α₁, α₂,…, α_r, хоча б одне з яких відмінне від 0, що виконується рівність α₁ā₁+ α₂ā₂+…+ α_r ā_r=0

Якщо рівність можлива лише в разі, коли всі α_і=0, то сис-ма векторів наз. лін. незалежною.

Визначення: система векторів (1) називається лінійно-залежною, якщо рівність (2) здійснима хоч би при одному а i № 0 (i=1.,k)

Властивості

Якщо система векторів містить нульовий вектор, то вона лінійно залежна

Якщо система векторів містить лінійно-залежну підсистему векторів, то вона буде лінійно-залежною.

Якщо система векторів лінійно незалежна, то і будь-яка її підсистема буде лінійно незалежною.

Якщо система векторів містить хоч би один вектор, що є лінійною комбінацією інших векторів, то ця система векторів буде лінійно залежною.

Визначення: два вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на паралельних прямих.

17.Базис. Розклад вектора за базисом. Ортогональна система векторів.

Базисом векторного простору наз. будь-яка максимальна лін. незалеж. сис-ма векторів цього простору. Щоб розкласти вектор за базисом використ. ф-лу:

ā= х₁ ā₁+х₂ ā₂+…+х_n ā_n

1. Визначення: нехай задане деяка система векторів. Базисом цієї системи називається мах. сукупність лінійно-незалежних векторів системи. У множині векторів на прямий  базис складається з одного ненульового вектора. Як базис множини векторів на площині можна взяти довільну пару. У множині векторів у тривимірному просторі базис складається із трьох некомпланарних векторів. 2. Прямокутна (декартова) система координат на площині визначається завданням двох взаємно перпендикулярних прямих із загальним початком і однакової масштабної ед. на осях. Прямокутна (декартова) система координат у просторі визначається завданням трьох взаємно перпендикулярних прямих із загальної точкойпересечения й однакової масштабної ед. на осях.

Ортогональний базис — ортогональна система елементів лінійного простору зі скалярним добутком, що має властивість повноти.

Ортогональний базис — базис, складений з попарно ортогональних векторів.

Ортонормований базис задовольняє ще й умові одиничності норми всіх його елементів. Тобто це ортогональний базис з нормованими елементами.

Останній зручно записується за допомогою символу Кронекера:

тобто скалярний добуток кожної пари базисних векторів дорівнює нулю, коли вони не співпадають ( ), і дорівнює одиниці при співпадаючому індексі, тобто коли береться скалярний добуток будь-якого базисного вектора з самим собою.

В кожному гільбертовому просторі , ортонормована система векторів утворює ортонормований базис тоді і тільки тоді, коли вона задовільняє наступним умовам^[1]:

1. Довільний вектор може бути записано у вигляді: , де (k = 1, 2, …)