- •Энергетическая структура твердых тел
- •Общие сведения об электрических свойствах твердых тел
- •Уравнение Шредингера для кристалла
- •Метод сильной связи
- •Эффективная масса электрона в кристалле
- •Диэлектрики, полупроводники и металлы в зонной теории
- •Эффективные массы тяжелых и легких дырок равны соответственно и для германия, и для кремния.
- •Энергетические состояния в несовершенных кристаллах
- •Плотность энергетических состояний и распределение электронов по энергиям
- •Энергия Ферми и концентрация электронов в металле
- •Теплоемкость и теплопроводность металлов
- •Эффективная масса для плотности состояний
- •Здесь – энергия, соответствующая дну зоны, – диагональные элементы тензора обратной массы.
- •Уровень Ферми и концентрация носителей в собственных полупроводниках
- •Уровень Ферми и концентрация носителей в примесных полупроводниках
- •После некоторых преобразований это уравнение приводится к квадратному уравнению
- •Формула (4.126) упрощается, и положение уровня Ферми определяется выражением
- •Закон действующих масс
- •8 Пенни Уильям Джордж (англ. Penney William George, 1909–1991) – английский математик и физик, руководитель британской программы создания атомной бомбы.
Энергетическая структура твердых тел
Дискретные энергетические уровни атомов, образующих твердое тело, под действием возмущающего действия полей окружающих атомов расщепляются в энергетические зоны. Решение уравнения Шредингера в приближении сильной или слабой связи дает качественно одну и ту же картину для структуры энергетических зон твердых тел.
Наибольшее значение для электронных свойств твердых тел имеют верхняя и расположенная ниже разрешенные зоны энергий. Если между ними нет энергетического зазора, то твердое тело с такой зонной структурой является металлом. Если величина энергетической щели между этими зонами (запрещенной зоны) больше 3 эВ, то твердое тело является диэлектриком. И, наконец, если ширина запрещенной зоны составляет (0,1 ÷ 3,0) эВ, то твердое тело принадлежит к классу полупроводников.
Поскольку в полупроводниках ширина запрещенной зоны меняется в широком диапазоне, то вследствие этого в значительной мере меняется их
удельная проводимость.
Рассматриваются энергетические состояния в несовершенных кристаллах, вводится понятие энергии Ферми в металлах, уровня Ферми в полупроводниках.
Общие сведения об электрических свойствах твердых тел
Одной из внешних характеристик, отражающих внутреннюю структуру твердого тела, является электропроводность. По электрической проводимости твердые тела можно разделить на два класса – проводники, к которым относятся вещества с низким удельным сопротивлением , и диэлектрики с удельным сопротивлением более . Промежуточное состояние занимают полупроводники.
В отсутствие внешнего электрического поля имеющиеся в проводниках и полупроводниках свободные носители заряда хаотически перемещаются в кристалле с некоторой тепловой скоростью , причем направленное движение носителей отсутствует. Взаимодействие электронов с фононами и дефектами кристаллической решетки приводит к их рассеянию.
Под действием внешнего электрического поля носители приобретают направленную составляющую скорости . Координированное движение свободных электронов накладывается на хаотическое движение, что в итоге приводит к переносу зарядов в твердом теле и, следовательно, к электрическому току. Это явление можно описать в аналитической форме, если ввести силу, которая действует на каждый электрон со стороны поля, и просуммировать по всем свободным носителям. Ограничимся слабыми полями, при которых энергия, приобретаемая электроном в электрическом поле, мала по сравнению с кинетической энергией его хаотического движения.
Направленное движение носителей в электрическом поле называется дрейфом. Дрейфовую составляющую скорости можно вычислить, если решить уравнение движения
, (4.1)
где ( ) и – заряд и эффективная масса носителя (это понятие будет введено дальше). Интегрирование уравнения позволяет определить скорость в момент времени
(4.2)
Первый член представляет начальную скорость, среднее значение которой равняется нулю. Скорость не может расти безгранично из-за рассеяния, которое приводит к тому, что электрон после столкновения полностью теряет избыток скорости, приобретенный за счет электрического поля. Среднее увеличение скорости электрона за время между двумя столкновениями определяет дрейфовую скорость
, (4.3)
где величина называется временем релаксации.
Если концентрация электронов составляет , то ток равняется , и после подстановки получим плотность тока
. (4.4)
Сравнив (4.4) с законом Ома1 в дифференциальной форме, определим удельную проводимость
(4.5)
Со временем релаксации связана важная величина, называемая подвижностью носителей заряда которая численно равняется скорости, приобретаемой зарядом под действием электрического поля единичной напряженности
. (4.6)
Подвижность можно измерять непосредственно, и поэтому она является более удобным понятием, чем время релаксации.
Когда по проводнику течет ток, то в нем выделяется тепло. Источником тепловой энергии является электрическое поле, которое ускоряет электроны, передавая им энергию; при рассеянии (столкновениях) последние отдают решетке свою энергию. При концентрации электронов количество энергии , переданное решетке за 1 с, равняется
(4.7)
Это есть известный закон Джоуля2-Ленца3.
Рассеяние электронов происходит на фононах и различного рода дефектах: вакансиях, межузельных атомах, примесных атомах, дислокациях. Экспериментально установлено, что вклады в удельное сопротивление , обусловленные различными механизмами, аддитивны. В этом и заключается правило Маттисена4. Физически оно обусловлено самой природой рассеяния.
Температурная зависимость проводимости твердого тела обуславливается температурными зависимостями подвижности и концентрации носителей заряда. В металлах концентрация электронов практически не зависит от температуры, а подвижность с ростом температуры уменьшается из-за рассеяния на фононах, что приводит к уменьшению проводимости металлов при увеличении температуры. В полупроводниках преобладающим фактором является экспоненциальный рост концентрации носителей при повышении температуры, поэтому проводимость полупроводников резко растет при увеличении температуры.
Количественные соотношения для этих и других процессов в твердых телах будут получены нами в следующих разделах курса.