Лекция 4
Тема 1. Алгебраические расширения числовых полей.
Конечные поля, основанные на кольцах многочленов.
1. Минимальные многочлены1
Из предыдущего материала уже стало ясно, что главную роль в построении расширений полей играют неприводимые многочлены. Среди них заслуживают особого внимания минимальные многочлены, которые мы определили следующим образом (см. Л-1, РПЭК): Простой (неприводимый) многочлен над полем GF(q) наименьшей степени, для которого , называется минимальным многочленом элемента над полем GF(q).
По определению минимальный многочлен является неприводимым. Однако среди неприводимых есть примитивные и не примитивные многочлены (см. Л-2, РПЭК: многочлен называется примитивным, если в расширении поля, построенном по модулю , соответствующий многочлену x элемент поля является примитивным).
П р и м е р 1. В поле с элементами, рассмотренными в примере Л-2, РПЭК, где возможными коэффициентами для минимального многочлена являются 0 и 1, имеем
Элемент Минимальный многочлен
0 x
1 x +1
Нетрудно убедиться, что приведенные элементы являются корнями соответствующих минимальных многочленов. Минимальные многочлены элементов и являются одновременно примитивными (их корни имеют максимальный порядок 15). Предпоследний многочлен не примитивный в поле (его корень имеет порядок 5). Многочлен второй степени примитивный в поле (оно является подполем поля ).
Мы сейчас сосредоточимся на изучении свойств минимальных многочленов. Некоторые из них мы уже установили ранее (см. Л-2, РПЭК).
Свойства минимальных многочленов.
Предположим, что минимальный многочлен элемента , .
М1. неприводимый (доказано в Л-2, РПЭК).
М2. Если некоторый многочлен (с коэффициентами из поля GF(p)) такой, что , то (доказано на Л-2, РПЭК).
М3. .
Д о к а з а т е л ь с т в о вытекает из (М2) и следствия теоремы 5, Л-2, РПЭК (каждый элемент поля GF(q) удовлетворяет равенству , или эквивалентно, является корнем уравнения ).
М4. deg M(x) m.
Д о к а з а т е л ь с т в о. GF(pm) образует некоторое пространство размерности m над GF(p). Следовательно, любые т + 1 элементов, в частности 1, ,..., , являются линейно зависимыми, то есть существуют все одновременно не равные нулю коэффициенты GF(p) такие, что . Таким образом, является многочленом степени не более чем т, который имеет своим корнем. Следовательно, deg M (x) ≤ т.
М5. Степень минимального многочлена примитивного элемента поля GF(pm) равняется m (то есть такой минимальный многочлен примитивный).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть примитивный элемент поля GF(pm) и М(х) его минимальный многочлен степени d. Мы можем использовать М(х) для построения поля F порядка pd. Но F содержит и, следовательно, все поле GF(pm), так что d ≥ т. Но согласно (М4) одновременно выполняется равенство deg M (x) ≤ т. Следовательно, выходит d = т.
Замечание. Если неприводимый многочлен (х) используется для построения поля GF(pm) и элемент поля GF(pm) является корнем (х), то, очевидно, что (х) является минимальным многочленом элемента .
Теперь мы можем доказать единственность поля GF(pm). Справедлива теорема.
Теорема 1. Все конечные поля порядка рт изоморфны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть F и G поля порядка рт и пусть примитивный элемент поля F с минимальным многочленом М(х). Из свойства (МЗ) вытекает, что М(х)| . Следовательно, соответственно следствию теоремы 5, Л-2 (каждый элемент поля GF(q) является корнем уравнения , ) в G найдется элемент , минимальным многочленом которого является М(х). Теперь F можно рассматривать как множество многочленов от степени не больше т 1 (как множество классов вычетов по модулю М(х)), a G как множество многочленов от степени не больше т 1. Тогда соответствие задает изоморфизм F G.
В качестве примера рассмотрим два способа задания поля , приведенные на Рис.1, которые определяются соответственно многочленами и .
Задание поля с помощью Задание поля с помощью
многочлена многочлена
000 = 0 000 = 0
001 = 1 001 = 1
010 = 010 =
100 = 100 =
011 = 101 =
110 = 111 =
111 = 011 =
101 = 110 =
( ) ( )
Рис.1. Два способа задания .
Минимальным многочленом обоих элементов и является , и соответственно устанавливает изоморфизм между двумя способами задания поля.