4.4 Решатели в SolidWorks и Abaqus
В SolidWorks доступны прямой и итерационный решатели.
Итерационный
решатель обладает большей скоростью
вычислений (особенно с числом узлов
более
),
позволяет решать нелинейные задачи.
Согласно МКЭ нелинейные проблемы
формулируются системой нелинейных
алгебраических уравнений вида:
,
(49)
где
- неизвестные перемещения;
- общие внешние воздействия в узлах.
Задача состоит в определении неизвестных
,
зависящих от
.
В итерационных методах аппроксимация решения происходит при общем нагружении, без разбиения нагрузки на части, имеющей место быть в инкрементальных методах. В каждом последующем шаге (итерации) предполагается, что матрица жесткости постоянна. В связи с этим появляются неуравновешенные (остаточные) нагружения, отступления от равновесия. После каждой итерации определяют неуравновешенные нагружения и учитывают при следующей итерации. Действия повторяют, пока все условия равновесия не будут удовлетворены с необходимой точностью.
В итерационном решателе SolidWorks и Abaqus реализованы обычный и модифицированный методы Ньютона-Рафсона для корректировки параметров, описывающих состояние системы [50].
Если
- приближенное решение системы нелинейных
уравнений, то его улучшают, если
вектор-функция остаточных сил
раскладывается в ряд Тейлора вблизи
:
,
(50)
где
- функция остаточных сил,
- инкрементное (приращенное) перемещение.
Учитывается условие, что исправленное решение отвечает условиям равновесия, т.е.:
.
(51)
Тогда справедливо:
;
(52)
где
- тангенциальная матрица жесткости.
После определения
определяют
из выражения:
.
(53)
Итерационный метод
Ньютона-Рафсона ведет к быстрой сходимости
решения и обладает высокой устойчивостью.
Но при каждом повторном шаге необходимо
вычислять матрицу жесткости системы и
решать новую систему уравнений, что
увеличивает его вычислительную стоимость.
Для устранения этого недостатка
используется модифицированный метод
Ньютона-Рафсона, предполагающего, что
матрица
в ходе итерации не меняется [3]:
,
(54)
где
– тангенциальная матрица
итерации;
- тангенциальная
матрица нулевой итерации.
Рис. 27 – Пояснительные иллюстрации к итерационному методу Ньютона-Рафсона: а – обычный метод; б – модифицированный
Порядок итерации
формально остается прежним с той
разницей, что вместо
применяется
.
Различие состоит в том, что в этом случае
необходимо также на первом шаге решить
систему уравнений, а в каждой следующей
итерации выполнять поправку правой
части уравнения с
:
.
(55)
Модифицированный метод Ньютона-Рафсона значительно экономичнее обычного несмотря на более медленную сходимость, потому чаще используется [50].