Лекция 16 Гомоморфизмы и идеалы колец
Пусть – кольцо целых чисел, а – кольцо классов вычетов по модулю . Рассмотрим отображение
, (1)
определяемое как
, (2)
где , – класс вычетов по , в который попадает число .
Таких классов ровно и отображение – сюрьективно.
Пусть , где , тогда в силу определенных в кольце операций сложения и умножения имеем:
, (3)
, (4)
что позволяет говорить о гомоморфизме колец и .
Обобщим этот факт в виде следующего определения.
Определение. Пусть и два кольца. Отображение называется гомоморфизмом, если оно сохраняет операции
, (5)
, (6)
где .
Чтобы указать, что
– гомоморфное отображение кольца на кольцо пишут или Hom: .
Пример. Пусть – кольцо целых чисел, – кольцо классов вычетов по модулю 2.
Кольцо – содержит два класса:
класс четных чисел –
класс нечетных чисел .
Отображениe
, ,
которое каждому четному числу ставит в соответствие класс , а каждому нечетному – класс , является гомоморфизмом.
Рассмотрим основные свойства гомоморфных отображений колец, которые сформулируем в виде следующей теоремы.
Теорема. Если гомоморфизм кольца в кольцо , то:
1. (нуль кольца K отображается в нуль кольца );
2. ;
3. есть подкольцо кольца :
4. Если для операции умножения в , то , а если для , то .
Доказательство.
Если .
Тогда
,
где .
Отсюда следует, что – есть нулевой элемент кольца .
Докажем, что для : .
Действительно, .
С другой стороны, .
3. Докажем, что – подкольцо кольца .
Утверждение будет доказано, если мы покажем, что:
а. – группа по сложению,
б. – полугруппа по умножению.
А) Пусть
,
т.е. - два произвольных элемента , тогда
,
следовательно – подгруппа в .
Б.) Покажем, что если и , то и их произведение .
Действительно, если и , то
, где .
Тогда .
4. Докажем, что
.
Действительно, если и
.
С другой стороны, т.к. – гомоморфизм, то
.
Замечание. Если – гомоморфизм колец, то для любого фиксированного
.
Действительно, пусть , тогда
.
Вместе с тем, выражение не следует рассматривать как настоящее произведение двух элементов кольца, потому что в общем случае не является элементом кольца, а представляет собой нечто внешнее – целое число.
Однако, если кольцо обладает единицей 1, то можно рассматривать как настоящее произведение, а именно
.
Аналогично морфизмам групп, рассматриваются морфизмы колец, при этом гомоморфизм называется:
– мономорфизмом, если отображение – инъективно:
,
причем , т.е. образы различных элементов различны.
– эпиморфизмом, если – сюрьективно:
каждый элемент имеет прообраз т.е.
;
– изоморфизмом, если – биективно.
Факт изоморфизма колец кратко записывается в виде .
Пример. Пусть – кольцо целых чисел, а – кольцо классов вычетов по модулю .
Рассмотрим отображение
,
такое, что
.
1. Отображение является гомоморфизмом, т.к. сохраняет групповые операции:
Для классов вычетов эти операции имеют вид:
2. Отображение является эпиморфизмом,
т.е. – сюрьективно для любого имеется прообраз , такой, что
,
т.е. при делении на число дает положительный остаток равный ;
– не инъективно, т.к. если, как и ранее , то имеют один и тот же образ .