Билет №1

1. Определение.Пусть {(х) и g(x) — два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда высказыватель­ная форма вида f(x)=g(x) называется уравнением с одной, пе­ременной.

Значение переменной х из множества X, при котором урав­нение обращается в истинное числовое равенство, называется его решением (или корнем). Найти множество решений данного уравнения — значит решить это уравнение. Например:(x +70)*4=328

2. Теорема о делимости суммы. Если каждое слагаемое делится на натуральное число n, то и их сумма делится на это число.

Теорема о делимости разности. Если числа а и b делятся на п и а больше Ь, то а - b делится на n.

Теорема. Если в сумме одно слагаемое не делится на число m, а все остальные слагаемые делятся на число m, то вся сумма на число m не делится.

Билет № 2

1.Определение. Два выражения называются тождествен­но равными, если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответственные значения равны. Равенство, верное при любых значениях переменных, назы­вается тождеством. Тождествами считают и верные числовые равенства.

Разложим на множители выражение ах — bx +ab — Ь².

Сгруппируем члены данного выражения по два (первый со вто­рым, третий с четвертым) —это тождественное преобразование возможно на основании сочетательного закона сложения дейст­вительных чисел:

ах — bx + ab — b²—(ax —bx)-\-{ab — b²).

Вынесем в полученном выражении из каждой скобки общий множитель — это тождественное преобразование возможно на основании распределительного закона умножения относительно сложения:

(ах - Ьх) + (ab - b² )=х (а-Ь) +b (а-Ь).

В полученном выражении слагаемые имеют общий множитель, вынесем его за скобки — это тождественное преобразование:

х(а-Ь)+Ь(а-Ь)=(а-Ь)(х+Ь).

Итак,ах — bx+ab — b²=(a — Ь) (х + Ь).

2. Теорема о делимости произведения. Если один из множителей произведения делится на натуральное число п, то и все произведение делится на п.

Теорема. Если в произведении ab множитель а делится на натуральное число т, а множитель b делится на натуральное число п, то произведение ab делится на произведение тп.

Например, произведение 24-36 разделится на 108=12-9, поскольку 24 делится на 12, а 36 делится на 9.

3. Определение. Произведением целых неотрицательных чисел а и b называется такое целое неотрицательное число а-Ь, которое удовлетворяет следующим условиям:

1) a*b = a+a+a+…..+a при b>1;

Ь слагаемых

a*1 =a при b = 1;

а*0 = 0 при b = 0.

Произведение целых неотрицательных чисел а и Ь можно рассматривать как число элементов декартова произведе­ния множеств А и В, где n (А)=а, п (В) = Ь:

А*Ь = п(АхВ), где n(А)=а, n(В) = Ь .

Билет №3

1.Пусть а и Ь — два числовых выражения. Соединим их зна­ком равенства. Получим предложение а = Ь, которое называют числовым равенством.

Числовое равенство истинно, если значения числовых выра­жений, стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают.

Напомним некоторые свойства истинных числовых равенств.

Если к обеим частям истинного числового равенства а = Ь прибавить одно и то же числовое выражение с, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство а + с = 6 + с.

а = Ь =>а + с = £> + с.

Если обе части истинного числового равенства а = Ь умно­жить на одно и то же числовое выражение с, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство ас —be.

a = b =t- ас —be.

Пусть а и Ь — два числовых выражения. Соединим их зна­ком «>» (или <). Получим предложение а>Ь (или а<Ь), ко­торое называют числовым неравенством.

2. Определение. Произведением целых неотрицательных чисел а и b называется такое целое неотрицательное число а-Ь, которое удовлетворяет следующим условиям:

1) a*b = a+a+a+…..+a при b>1;

Ь слагаемых

a*1 =a при b = 1;

а*0 = 0 при b = 0.

Произведение целых неотрицательных чисел а и Ь можно рассматривать как число элементов декартова произведе­ния множеств А и В, где n (А)=а, п (В) = Ь:

А*Ь = п(АхВ), где n(А)=а, n(В) = Ь .

1.Переместительный закон: для любых целых неотри­цательных чисел а и Ь справедливо равенство а*Ь — Ь*а.

2.Сочетательный закон: для любых целых неотрица­тельных чисел a, b, с справедливо равенство (a*b)*c = a*(b*c).

3.Распределительный закон умножения от­носительно сложения: для любых целых неотрицательных чисел а, Ь, с справедливо равенство (a+b) *с = ас +bс.

4.Распределительный закон умножения отно­сительно вычитания: для любых целых неотрицательных чисел a,b,c, a>b справедливо равенство (а — Ь)с=ас — Ьс.

Билет №4

1. Определение. Отношение R на множестве X называется отношением порядка, если оно транзитивно и антисимметрично.(отношение больше)

Множество X с заданным на нем отношением порядка называется упорядоченным множеством.

2. Определение. Частным целого неотрицательного числа а и натурального числа b называется такое целое неотрицательное число с=а:Ь, произведение которого и числа b равно а.

Можно показать и наличие обратной связи, т. е. что из второго определения частного вытекает первое:

a:b = с<> а = с*Ь

Билет №5

1. По­следовательно повторяющаяся группа цифр после запятой в деся­тичной записи числа называется периодом, а бесконечная деся­тичная дробь, имеющая период в своей записи, называется периоди­ческой. Период принято записывать один раз в круглых скобках:

Шесть седьмых= 0,(857142).

Различают чисто периодические дроби — в них период начина­ется сразу после запятой, и смешанно периодические дроби — в них между запятой и периодом есть другие десятичные знаки. Например, 0,(857142) —чисто периодическая дробь, а 3,27(346) смешанно периодическая дробь.

Если дробь несократима и в разложении знаменателя есть простой множитель, отличный от 2 и 5, то дробь представляется бесконечной десятичной периодической дробью.(19_80,80=2(в 4-ой степени)*5-дробь можно записать в виде десятичной дроби)

Любое положи­тельное рациональное число представимо либо конечной десятичной дробью, либо бесконечной десятичной периодической дробью. Дробь, знаменателем которого является число 10 либо 10 в любой степени, то эту дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.

2.Для того чтобы существовало частное двух нату­ральных чисел а и Ь, необходимо, чтобы Ь<а

Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

Пусть даны числа а не равно 0 и b = 0. Предположим, что частное чисел а и b существует. Тогда по определению частного сущест­вует такое целое неотрицательное число с, что а = с*0, отсюда a=0.

Пришли к противоречию с условием.Частное чисел а не равно 0 и b= 0 не существует

Если а = 0 и 6 = 0, то из предложения, что частное таких Чисел а и b существует, следует равенство 0 = с*0, истинное при любых значениях с, т. е. частным чисел а = 0 и b = 0 может быть любое число. Поэтому в математике считают, что деление нуля на нуль также невозможно.

Теорема. Для любого целого неотрицательного числа а и натурального числа Ь существуют целые неотрицательные чис­ла q и r, такие, что a = b*q+r,0<r<b Пара целых неотрицательных чисел (q, r), обладающая этим свойством, един­ственная.

Определение. Пусть а = п (А) и множество А разбито на попарно непересекающиеся равномощные подмножества.

Если b — число подмножеств в разбиении множества А, то частным чисел а и b называется число элементов каждого под­множества.

Если b — число элементов каждого подмножества в разбиении множества А, то частным чисел а и b называется число подмножеств в этом разбиении.