- •Тексты лекций по математике I семестр
- •1.3. Перемножение матриц.
- •1.4. Определители второго и третьего порядков
- •1.5. Основные свойства определителей.
- •1.6.Разложение определителя по строке.
- •2.1. Обратная матрица.
- •2.2. Решение матричных уравнений
- •2.3. Ранг матрицы. Теорема о ранге. Вычисление ранга матрицы
- •2.4. Теорема о ранге.
- •3.1. Основные понятия о системах линейных уравнений
- •3.2. Правило Крамера.
- •1. Если система (3.2) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .
- •3.3. Решение линейных систем с помощью обратной матрицы.
- •3. 4. Метод Гаусса решения линейных систем.
- •3.5.Общее решение однородной линейной системы.
- •5.1. Основные понятия о векторах.
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •5.3. Базис и координаты вектора.
- •5.4. Скалярное произведение векторов.
- •Свойства скалярного произведения:
- •Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов.
- •Прямая на плоскости.
- •Неполные уравнения прямой.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Плоскость в пространстве
- •Неполные уравнения плоскости.
- •Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •Прямая в пространстве.
- •Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
- •Собственные числа и собственные векторы матрицы
- •Свойства характеристического многочлена:
- •Свойства собственных чисел и собственных векторов:
- •Свойства эллипса:
- •Гипербола.
- •Свойства гиперболы:
- •Парабола.
- •Свойства параболы:
- •Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.
- •Математический анализ
- •Операции с множествами
- •Множество действительных чисел.
- •Функция.
- •Пределы функций.
- •Свойства пределов.
- •Предел числовой последовательности.
- •Свойства бесконечно малых.
- •Бесконечно большие функции.
- •Свойства непрерывных функций.
- •Точки разрыва и их классификация.
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •Непрерывность обратной функции.
- •Непрерывность элементарных функций.
- •Натуральный логарифм и гиперболические функции.
- •Определение комплексного числа.
- •2. Вычисление рациональных корней уравнения.
- •3. Простейшие рациональные дроби.
- •4. Методы вычисления коэффициентов числителя.
- •Определение производной. Ее практическое содержание
- •Дифференцируемость и непрерывность.
- •Правила дифференцирования
- •Дифференцирование основных элементарных функций
- •Дифференцирование функции, заданной неявно
- •Дифференциал функции и его приложение
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Производные и дифференциалы функции, заданной параметрически
- •§1. Основные понятия.
- •§2. Предел функции.
- •§3. Частные производные.
- •§4. Полный дифференциал функции.
- •§5. Производная по направлению. Градиент.
- •§6. Экстремум функции нескольких переменных.
- •§7. Наибольшее и наименьшее значения функции.
3.5.Общее решение однородной линейной системы.
Рассмотрим однородную линейную систему
. (3.10)
Отметим, что такая система всегда совместна, поскольку имеет нулевое решение называемое тривиальным.
Пусть ранг матрицы системы r<n. Предположим, что в базисный минор входят коэффициенты первых r уравнений. Тогда оставшиеся m – r уравнений являются линейными комбинациями, то есть следствиями предыдущих. Поэтому можно оставить в системе только первые r уравнений:
. (3.11)
Оставим в левой части каждого уравнения неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, а остальные неизвестные перенесем направо:
(3.12)
Эта система будет иметь единственное решение относительно неизвестных выражающее их через остальные неизвестные ( ), которым можно придавать любые произвольные значения. Таким образом, система (3.10) при r<n является неопределенной.
Определение 4.7. Неизвестные коэффициенты при которых входят в базисный минор матрицы системы, называются базисными неизвестными, а остальные ( ) – свободными неизвестными.
Определение 4.8. Решения системы (3.10)
(3.13)
называются линейно независимыми, если линейная комбинация дает нулевой столбец только при
Покажем, что число линейно независимых решений системы (3.10) равно n – r. Действительно, рассмотрим столбцы вида
(3.14)
содержащие по n-r чисел. Очевидно, что эти столбцы линейно независимы, а любой другой столбец той же размерности является их линейной комбинацией. Пусть эти столбцы задают значения свободных неизвестных системы (3.10).
Тогда базисные неизвестные будут однозначно определяться для выбранных свободных неизвестных из системы (3.10) по правилу Крамера, и все решения системы, соответствующие наборам свободных неизвестных (3.12), образуют n-r линейно независимых столбцов вида (3.11), то есть n-r линейно независимых решений системы (3.10).
Определение 4.9. Любые n – r линейно независимых решений системы (3.10) называются ее фундаментальной системой решений.
Определение 4.10. Фундаментальная система решений линейной однородной системы, в которой свободные неизвестные задаются по формулам (3.12), называется нормальной фундаментальной системой решений.
Замечание. Очевидным образом доказываются свойства решений однородной линейной системы (3.10):
Свойство 1. Сумма решений системы (3.10) является ее решением.
Свойство 2. Столбец решений (3.10), умноженный на любое число, тоже есть решение этой системы.
Следовательно, любая линейная комбинация фундаментальной системы решений системы (3.10) является ее решением. Можно доказать и обратное утверждение:
Теорема 4.3(без доказательства). Любое решение однородной линейной системы (3.10) является линейной комбинацией фундаментальной системы ее решений.
Таким образом, любое решение системы (3.10) имеет вид:
, где - фундаментальная система решений.
Пример.
Решим систему . Найдем ранг матрицы системы . Преобразуем ее к виду: . Очевидно, что r(A)=2.
Пусть - базисные неизвестные, - свободные неизвестные. Заменим исходную систему системой из первых двух уравнений, коэффициенты которых входят в базисный минор, и перенесем базисные неизвестные в правые части уравнений:
. Пусть . Тогда Если то Получена фундаментальная система решений: .
Теперь общее решение системы можно записать в виде: , где С1 и С2 – любые произвольные числа.
Лекция 5-6.
Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Декартовы координаты векторов и точек. Скалярное произведение векторов, его основные свойства, координатное выражение.