Определение момента инерции осесимметричного тела

Цель работы: изучить законы вращательного движения. Определить момент инерции осесимметричного тела.

Приборы и принадлежности: Установка с маятником Обербека, укрепленная на стене. Набор грузов. Штангенциркуль. Секундомер. Миллиметровая линейка.

КРАТКОЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Всякое движение твердого тела можно разложить на два основных вида движения - поступательное и вращательное.

При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Вращательное движение характеризуется угловым перемещением точек тела , угловой скоростью и угловым ускорением. Угловая скорость-величина, характеризуемая углом поворота радиус-вектора за единицу времени:

(1)

Угловое ускорение - величина, характеризуемая изменением угловой скорости в единицу времени:

(2)

Эти величины определяются как векторы, направление которых связывается с направлением вращения (аксиальные векторы). Вектор направлен вдоль оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта. Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости , направленные по касательной к соответствующей окружности. Величина линейной скорости определяется угловой скоростью и расстоянием рассматриваемой точки от оси вращения:

(3)

т.е., чем дальше отстоит точка от оси вращения, тем с большей линейной скоростью она движется.

Нормальное ускорение:

(4)

Тангенциальное ускорение: (5)

Таким образом нормальное и тангенциальное ускорения растут линейно с расстоянием точки от оси вращения.

Угловое ускорение вращательного движения твердого тела зависит не только от величины действующей силы, но и от того, где приложена сила. Поэтому в динамике вращательного движения вместо силы рассматривают момент силы. Различают вращающий момент силы относительно точки вращения и оси.

Mомент силы относительно точки 0 - векторная величина, равная векторному произведения радиус-вектора , проведенного из точки 0 в точку приложения силы, на силу

(6)

Этот вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат и , его направление определяется правилом правого винта (рис. 1).

Момент силы относительно оси z:

(7)

где - - плечо силы, т.е. кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы (рис. 2).

Абсолютно твёрдое тело можно рассматривать как систему материальных точек с неизменными расстояниями между ними.

Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы материальной точки на квадрат расстояния её от этой оси:

(8)

Момент инерции тела относительно оси равен сумме моментов инерции всех точек:

(9)

Из этого соотношения следует, что если тело состоит из каких-либо связанных между собой частей, то его момент инерции равен сумме моментов инерции этих частей.

Соотношение (9) положено также в основу теоретического метода определения момента инерции тела с осевой симметрией.

Момент инерции твердого тела учитывает распределение массы относительно данной оси вращения, следовательно, момент инерции одного и того же тела относительно различных осей вращения будет различен.

Момент инерции является физической величиной, характеризующей инертность тела при изменении им угловой скорости под действием момента сил.

Зависимость углового ускорения вращающегося тела от момента сил и момента инерции относительно оси вращения определяется основным уравнением динамики вращательного движения:

(10)

Если сопоставить это уравнение с уравнением динамики поступательного движения , то можно заметить, что роль силы (как причины поступательного движения ) играет момент силы при вращательном движении; роль массы ( как меры инертности ) - момент инерции.

В общем случае при вращении тела возникают моменты сил вне плоскости вращения, которые компенсируются моментом реакции опор. Всегда можно найти такую ось вращения, положение которой в пространстве неизменно в отсутствие действия внешних сил. Такая ось называется свободной осью тела. Для любого тела существуют три взаимно перпендикулярные свободные оси, проходящие через центр инерции тела. Их называют главными осями инерции. Момент инерции тела относительно каждой из этих осей в общем случае имеет различные значения. Наиболее устойчивым к внешним воздействиям оказывается вращение вокруг той главной оси инерции, относительно которой момент инерции максимален.

Законы вращательного движения удобно изучать при помощи осесимметричного тела, например, маятника ( крестовидного или маховика ), закрепленного на оси, совпадающей с главной осью инерции. На оси вместе с вращающимся телом укрепляется легкий шкив радиусом r c намотанной на него тонкой нитью, к концу которой прикреплен груз массой m (рис. 3).

Для определения момента инерции маятника используем динамический метод, основанный на применении основного уравнения динамики вращательного движения (10) , из которого следует, что

(11)

Если дать возможность подвешенному грузу опускаться, то на маятник будет действовать постоянный момент M_H силы натяжения нити, который приведет маховик во вращение, преодолевая действие противоположного ему момента М_ТР , обусловленного силами трения в подшипниках оси.

Момент сил относительно оси вращения установки равен:

(12)

Согласно уравнения (7) момент силы натяжения равен:

(13)

где r - радиус шкива, Т - сила натяжения нити.

Найдем величину Т. Для этого рассмотрим динамику движения подвешенного груза. Этот груз будет двигаться с постоянным ускорением , которое создается результирующей силой действующих на груз сил: силы тяжести и силы натяжения нити .Уравнение динамики поступательного движения (второй закон Ньютона ) для движущегося груза в проекции на направление ускорения имеет вид:

откуда:

(14)

Согласно третьему закону Ньютона, на шкив действует сила натяжения Т, равная по величине силе , но противоположно направленная. Следовательно, по величине .

Подставляя в (13) выражение для силы натяжения (14), получим:

(15)

Так как нить нерастяжима и не проскальзывает по шкиву, линейные скорости и ускорения периферийных точек шкива будут равны по величине скорости и ускорению опускающегося груза. Поэтому угловое ускорение равно:

(16)

Если момент, обусловленный силами трения не учитывать, то подставляя значения и ε из (15) и (16) в (11), получим:

(17)

Высота опускания груза при равноускоренном движении выражается формулой:

откуда линейное ускорение груза:

18)

Подставляя значение линейного ускорения (18) в (17), получим формулу для определения момента инерции:

(19)

Момент инерции маятника Обербека (крестовидного), состоящего из двухступенчатого диска, 4-х спиц, 4-х подвижных грузов, надетых на спицы, можно рассчитать таким образом:

,

где - момент инерции двухступенчатого диска относительно оси симметрии;

- момент инерции одной спицы без груза;

- длина спицы;

- масса спицы;

- момент инерции грузика, укрепленного в конце спицы;

- масса грузика.

Пренебрегая величиной J₀ ввиду ее малого значения получим расчетную формулу:

(20)

Полагая, что числовые значения J_P и J_Э мало отличаются от истинных, можно определить относительную ошибку эксперимента:

(21)