5.7Спектральная плотность случайного процесса.
Пусть дан случайный
процесс
.
Для него можно будет рассмотреть
последовательность ковариаций
,
,
Для последовательности
можно будет определить преобразование
Фурье:
- угловая частота.
Величина
- спектральная плотность случайного
процесса. Ее график спектр. Ординаты
могут быть очень большими
переход к log
уменьшает эти значения
в таких случаях удобнее вычерчивать
спектр с log
спектром плотности в качестве ординат.
Спектральная
плотность отражает вклад тригонометрической
компоненты с частотой
и периодом
,
дисперсия стационарного процесса,
представляющая > или < регулярные
колебания
всплески графика спектра на частоте
указывают на наличие периодической
компоненты с данной частотой (обратная
величина периода). Иногда спектр, как
средство улавливания периодичных данных
сравнивают с устройством настройки в
радиоприемнике, как звук появляется
при подборе нужной частоты, так и спектр
обнаруживается при наличии колеблемой
компоненты с найденной частотой.
Интерпретация спектра не так проста. Трудности при интерпретации связаны с тем, что в спектре наблюдаются такие свойства как эхо эфф., боковые пики, влияние тренда. Если в ряде содержатся колебания частоты альфа, то спектр будет иметь пик в этой точке, но в самом ряде будут присутствовать также другие колебания. Тогда и в спектре появятся пики на низких частотах. Это эхо эффект.
Боковые пики: если
в спектре имеется пик в (.)
,
то появляется ряд меньших пиков в (.) в
которых sin
достигает мах, а именно в (.)
На графиках основные пики сопровождены по величине боковыми пиками, очень трудно, часто невозможно определить являются ли пики побочным эффектов или нет. Проблемы при интерпретации спектра частично решаются сложением спектра некоторыми спектральными окнами.
Спектральное окно – функция частоты, определяющая весовую функцию, используемую при оценке спектральной плотности . Спектральное окно выбирается обычно зависящим от длины временным рядом. Разные авторы предложили ряд различных функций, можно отметить спектральные окна введенные Бартлетом, Блэкманом, Дерихле. Именно эти функции часто используются в компонентных программах, выполняющих разложение Фурье.
Различные параметры спектров.
- теоретический
спектр белого шума - горизонтальная
линия с ординатой
.
- АР (1), - АР (2), - если в данных имеется линейный тренд, то спектр будет выражаться кривой с высоким пиком в начале отсчета. Фактически в этом анализе тренд трактуется как длинная волна с 0 частотой.
- если спектр имеет беспорядочный вид, в данных сезонности не существует.
Вывод:
Спектр позволяет определить на только частоту периодических колебаний, но и общую структуру случайного процесса:
- беспорядочные колебания
- определение порядка АР
- определение порядка тренда. Спектр, характеризуя структуру временного ряда, позволяет определить возможные варианты модели прогнозирования временного ряда.