1.3. Питання для самоперевірки

1. Коли виникає необхідність побудови інтерполяційних функцій?

2. Що таке вузол інтерполяції?

3. Поясніть поняття «інтерполяційна функція».

4. Як будується інтерполяційний багаточлен Лагранжа?

5. Яка сутність поняття «скінченна різниця»?

6. Як обчислюються скінченні різниці першого, другого й n-го порядків?

7. Що таке перша інтерполяційна формула Ньютона?

8. Чим відрізняється друга інтерполяційна формула Ньютона від першої?

9. У чому полягає перевага інтерполяційних багаточленів Ньютона перед інтерполяційним багаточленом Лагранжа?

10. Який недолік інтерполяційних багаточленів Ньютона?

11. Як визначити похибку інтерполяційних формул Ньютона?

12. Наведіть схему алгоритму обчислення значення функції за інтерполяційним багаточленом Лагранжа.

13. Наведіть схему алгоритму обчислення значення функції за першою інтерполяційною формулою Ньютона.

14. Наведіть схему алгоритму обчислення значення функції за другою інтерполяційною формулою Ньютона.

1.4. Порядок виконання індивідуального завдання

1. Відповідно до порядкового номера прізвища студента в журналі групи виписати з табл. 1 Додатку 1 значення аргументів і відповідні їм значення функції.

2. Побудувати інтерполяційний багаточлен Лагранжа.

3. Перевірити значення функції для вузлів інтерполяції.

4. Обчислити за інтерполяційною формулою Лагранжа значення функції для значення аргументу х₁, зазначеного в 12-му стовпці таблиці завдань (див. Приклад 1.1).

5. Скласти таблицю скінченних різниць для таблично заданої функції.

6. Обчислити за першою інтерполяційною формулою Ньютона значення функції для значення аргументу х₃, зазначеного в 14-му стовпці таблиці завдань. Оформити обчислення у вигляді таблиці (див. Приклад 1.2).

7. Обчислити за другою інтерполяційною формулою Ньютона значення функції для значення аргументу х₂, зазначеного в 13-му стовпці таблиці завдань. Оформити обчислення у вигляді таблиці (див. Приклад 1.2).

8. Виконати обчислення за допомогою Excel.

9. Порівняти результати обчислень «вручну» і на комп'ютері.

10. Оформити звіт.

11. Захистити звіт. Оформлений звіт представити на підпис викладачеві, що веде заняття. Необхідно вміти пояснити зміст звіту, а також відповісти на теоретичні питання з суті лабораторної роботи.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №2

АПРОКСИМАЦІЯ. МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ

2.1. Мета лабораторної роботи

Здобуття практичних навичок побудови апроксимуючих функцій (аналітичних залежностей) за сукупністю дискретних експериментальних даних.

2.2. Основні відомості

2.2.1. Постановка задачі

В інженерній практиці у процесі пошуку закономірностей протікання явищ і процесів виникає задача визначення за даними спостережень аналітичних залежностей одного параметра від іншого. Загальна постановка цієї задачі може мати такий вигляд.

Відомо, що між х і у існує функціональна залежність. У результаті експерименту отримана таблиця значень

х	х0	х1	х2	...	хn
у	у0	у1	у2	...	yn

Потрібно знайти функцію, що наближено описує зв'язок між х і у.

Експериментальними даними у такій задачі є табличне представлення функції, яку потрібно апроксимувати деякою аналітичною функцією. Рівняння такої функції є рівнянням зв'язку, що називають також рівнянням регресії. Регресійний аналіз полягає у визначенні аналітичного вираження зв'язку, у якому зміна однієї величини обумовлена впливом одного або декількох незалежних факторів. Регресія може бути однофакторною і багатофакторною.

За формою залежності розрізняють:

• лінійна регресія;

• нелінійна регресія, яка виражається рівняннями степеневої, показникової, експоненційної функцій, а також рівняннями гіперболи і параболи.

Побудова формули включає два етапи:

• з'ясування загального виду залежності;

• визначення найкращих параметрів залежності.

Підбір рівняння регресії у значній мірі залежить від досвіду й мистецтва дослідника. При достатньому досвіді за геометричним розташуванням експериментальних даних можна з достатньою точністю визначити вид апроксимуючої функції. У багатьох випадках вибирається (коли немає інших явних ознак) поліном виду у= а₀ + а₁х + ...+ а_mх^m. Однак, який би не був вид апроксимуючої функції, виникає задача визначення таких її параметрів, які б найкращим чином узгоджувалися з експериментальними даними. Одним з таких ефективних методів є метод найменших квадратів.