- •Опорный конспект, второй семестр (дополнение) обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия
- •Интегрируемые оду первого и второго порядков
- •Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Численное решение задачи Коши для оду
- •Функциональные преобразователи и схемы
- •Опр Логические формулы называются равносильными, если соответствующие им булевы функции совпадают.
- •Замечание (свойства унарных и бинарных операций):
- •Глава 4
- •Глава 6
- •Вопросы к первому блоку, 2011-2012 уч. Год, утс-11, уэл-11, уба-11,12
- •Вопросы ко второму блоку, 2011-2012 уч.Год
- •Типы задач для экзамена
Численное решение задачи Коши для оду
Опр Сеткой с шагом и узлами называется разбиение отрезка точками . Сеточной функцией называется функция, определенная в узлах .
Пусть правая часть ОДУ имеет непрерывные частные производные в точке . Тогда по формуле Тейлора в окрестности точки для решения задача Коши: , имеем
.
Последнее равенство подводит к такому определению.
Опр Методом Эйлера приближенного решения задачи Коши на сетке называется нахождение сеточной функции по формулам
.
ЗАМЕЧАНИЕ Локальная погрешность метода Эйлера – это погрешность на одном шаге, и она равна, как следует из формулы Тейлора, . Глобальная погрешность – это величина . Для метода Эйлера она равна .
Опр Методом Рунге-Кутта приближенного решения задачи Коши на сетке называется нахождение сеточной функции по формулам
, где , .
ЗАМЕЧАНИЕ 1 Локальная погрешность метода Рунге-Кутта на одном шаге равна . Глобальная погрешность равна .
КПР Задачу Коши можно решить приближенно методом Рунге-Кутта на любом отрезке . Однако точное решение единственно и имеет вид . Это видимое противоречие объясняется тем, что при определении глобальной оценки предполагается существование решения на всем отрезке, что в данном случае имеет место только на . Известны результаты, позволяющие определить характер точного решения по поведению приближенного.
ЗАМЕЧАНИЕ 2 Методы Эйлера и Рунге-Кутта имеют место и для НСОДУ.
Пример Для задачи Коши формула метода Рунге-Кутта имеет вид , где
.
Функциональные преобразователи и схемы
Опр Обозначим множество . Отображение называется функциональным преобразователем. Отображение называется двоичной (булевой) функцией от двоичных переменных.
ЗАМЕЧАНИЕ 1 Функциональный преобразователь является отображе нием , координатные функции которого есть булевы функции от переменных.
ЗАМЕЧАНИЕ 2 Существуют постоянные булевы функции и . Булевы функции, не содержащие переменных называются нульарными.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– тождественная, , - постоянные, - отрицание.
ЗАМЕЧАНИЕ 4 Существует булевых функций от двух двоичных переменных (бинарные операции):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
- дизъюнкция; - конъюнкция; - имплика ция; - сложение по модулю два; - эквиваленция; - штрих Шеффера; - стрелка Пирса.
ЗАМЕЧАНИЕ 5 Существует булевых функций от двоичных переменных.
Опр Булева функция задаваемая в виде упорядоченной системы унарных и бинарных операций над входящими в неё двоичными переменными и постоянными , , называется логической формулой (переключательной функцией).
ЗАМЕЧАНИЕ Приоритет выполнения операций в логической формуле задаётся с помощью скобок, а также в следующей последовательности: 1) отрицание; 2) конъюн кция; 3) дизъюнкция; 4) все остальные бинарные операции, при этом оследовательно-
сть их выполнения также должна регулироваться скобками.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ Булевы функции могут задаваться аналитически, графически, таблич но, в векторной форме и в виде логических схем.
Опр Логическая формула называется тавтологией(тождественно-ложной), если порождаемая ею булева функция тождественно равна единице (нулю).