2. Постановка краевой задачи.
Рассмотрим струнную систему,
состоящую из трех струн, образующих треугольник, одна вершина которого закреплена:
,
(2.1)
,
(2.2)
а к двум другим вершинам прикреплены колечки, одетые на спицы:
,
(2.3)
(2.4)
Обозначим всю
геометрическую систему через
.
Рассмотрим на Г скалярную функцию
такую, что
.
Сужение функции
на
,
,
и
обозначим
,
и
соответственно.
Будем считать, что
на систему действует сила с плотностью
.
Функции
и
,
характеризуют упругость струн.
Будем считать, что смещение точек механической системы от положения равновесия происходит параллельно некоторой прямой под действием внешней нагрузки, направленной вдоль этой прямой.
Общая потенциальная энергия системы, соответствующая возможной деформации может быть представлена в виде функционала:
.
(2.8)
Согласно вариационному принципу: «Реальная деформация системы, отвечающая устойчивому равновесию, должна давать минимум потенциальной энергии».
Теорема 1.
Пусть потенциальная
энергия рассматриваемой системы
определяется функционалом (2.8), тогда
для
,
удовлетворяющих условиям (2.1)-(2.4),
стационарное значение
функционала (2.8) удовлетворяет уравнениям:
,
(2.7)
и условиям
.
(2.5)
.
(2.6)
Доказательство.
Пусть
min
=
,
тогда
,
,
и удовлетворяет
условиям (2.1) - (2.4)
Найдем:
После интегрирования по частям
,
получим:
(2.9)
Выбирая
,
,
(
)
получаем уравнение Эйлера:
на
,
. Тогда, учитывая (2.1)
и (2.2),
уравнение (2.9)
примет вид:
(2.9’)
Если
в остальных случаях,
тогда получаем
,
т.е. (2.5)
Пусть условие (2.5) выполнено для любого h, тогда из уравнения (2.9’), учитывая условия непрерывности (2.4) получаем условие (2.6).
Таким образом, на Г построена неоднородная задача:
, (2.1)
, (2.2)
, (2.3)
, (2.4)
, (2.5)
, (2.6)
(2.7)
Соответствующая ей однородная задача имеет вид:
, (2.1)
, (2.2)
, (2.3)
, (2.4)
, (2.5)
, (2.6)
(2.7’)