- •Матрицы. Определители. Основные понятия.
- •Обратная матрица. Ранг матрицы.
- •Алгоритм нахождения ранга матрицы.
- •Системы линейных уравнений. Системы линейных неравенств.
- •Векторы. N – мерное линейное векторное пространство.
- •Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов.
- •Линейные операторы и матрицы. Собственные векторы линейных операторов.
- •Квадратичные формы.
- •Кривые второго порядка на плоскости (окружность, эллипс, гипербола, парабола).
- •Пусть и - фокусы эллипса. Начало системы координат расположим на середине отрезка . Ось направим вдоль этого отрезка, ось - перпендикулярно к этому отрезку (рис. 8.2).
- •Комплексные числа. Алгебраическая форма записи.
- •Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи.
- •Многочлены и действия над ними.
- •Функции. Графики основных элементарных функций.
- •Способы задания функции.
- •Графики элементарных функций.
- •Линейная функция.
- •Квадратичная функция
- •Гипербола
- •Степенная функция с натуральным показателнм.
- •Функция .
- •Показательная функция
- •Логарифмическая функция
- •Предел функции.
- •Непрерывность в точке. Виды разрывов.
- •Производная, ее геометрический и физический смысл.
- •Дифференциал, его геометрический и механический смысл.
- •Теоремы о дифференцируемых функциях и их применение.
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
- •Первообразная функции. Неопределенный интеграл.
- •Понятие определенного интеграла. Геометрический смысл.
- •Комбинаторика. Понятие множества. Перестановки. Размещения. Сочетания.
- •Формула включений-исключений и ее применения к комбинаторике и теории чисел. Бином Ньютона.
- •Рекуррентные уравнения.
- •Производящие функции.
- •Булевые функции и их представление. Двоичная запись целых чисел.
- •Описание логической функции одной и двух двоичных переменных.
- •Алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную.
- •Перевод чисел из двоичной системы в десятичную.
- •Теория графов. Основные понятия теории графов.
- •Сущность и условия применимости теории вероятностей. Вероятностное пространство.
- •Действия со случайными событиями.
- •Вероятность события. Аксиоматическое определение вероятности.
- •Вероятность события. Классическое определение вероятности.
- •Случайные величины и способы их описания.
- •Модели законов распределения вероятностей, наиболее употребляемые в социально-экономических приложениях.
- •Цепи Маркова и их использование в моделировании социально-экономических процессов.
Сущность и условия применимости теории вероятностей. Вероятностное пространство.
Будем полагать, что результатом реального опыта (эксперимента) может быть один или несколько взаимоисключающих исходов; эти исходы неразложимы и взаимно исключают друг друга. В этом случае говорят, что эксперимент заканчивается одним и только одним элементарным исходом.
Множество всех элементарных событий, имеющих место в результате случайного эксперимента, будем называть пространством элементарных событий W (элементарное событие соответствует элементарному исходу).
Случайными событиями (событиями), будем называть подмножества пространства элементарных событий W .
Пример 27.1. Подбросим монету один раз. Монета может упасть цифрой вверх - элементарное событие wц (или w1), или гербом - элементарное событие wГ (или w2). Соответствующее пространство элементарных событий W состоит из двух элементарных событий:
W = {wц,wГ } или W = {w1,w2}.
Пример 27.2. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий W = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6}, где w i- выпадение i очков. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2,w 4,w 6}, A W .
В более точных, формальных терминах элементарные события и пространство элементарных событий описывают следующим образом.
Пространством элементарных событий называют произвольное множество W, W ={w}.
Элементы w этого множества W называют элементарными событиями.
Понятия элементарное событие, событие, пространство элементарных событий, являются первоначальными понятиями теории вероятностей. Невозможно привести более конкретное описание пространства элементарных событий. Для описания каждой реальной модели выбирается соответствующее пространство W.
Определение. Событие называется достоверным, если оно не может не произойти в результате эксперимента, оно происходит всегда.
Пример 27.3. Бросаем один раз игральную кость. Достоверное событие состоит в том, что выпало число очков, не меньше единицы и не больше шести, т.е. W = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6}, где w i- выпадение i очков, - достоверное событие.
Определение. Невозможное событие не может произойти в результате эксперимента, оно не происходит никогда.
Невозможным событием называется пустое множество .
Определение. Случайное событие может произойти или не произойти в результате эксперимента, оно происходит иногда.
Пример 27.4. Бросаем один раз игральную кость. Выпадение более шести очков - невозможное событие .
Определение. Противоположным событию A называется событие, состоящее в том, что событие A не произошло. Обозначается , .
Пример 27.5. Бросаем один раз игральную кость. Событие A - выпадение четного числа очков, тогда событие - выпадение нечетного числа очков. Здесь W = {w 1, w 2, w 3,w 4, w 5,w 6}, где w i- выпадение i очков, A = {w 2,w 4,w 6}, = .
Невозможным событием называется пустое множество .
Определение. Несовместными событиями называются события A и B, для которых A B = .
Пример 27.6. Бросаем один раз игральную кость. Событие A - выпадение четного числа очков, событие B - выпадение числа очков, меньшего двух. Событие AB состоит в выпадении четного числа очков, меньшего двух. Это невозможно, A = {w 2,w 4,w 6}, B = {w 1}, AB = , т.е. события A и B - несовместны.