2 Пример выполнения задания

2.1 Задача расчета

В результате расчета необходимо определить для выбранного направления движения груза:

а) скорость груза 1 (рисунок 4) в момент, когда пройденный путь s равен заданному значению;

б) ускорение груза 1.

1 - груз; 2 - барабаны; 3 - подвижный блок; 4 - груз

Рисунок 4 - Схема механической системы

2.2 Данные для расчета

Данные для расчета сведены в таблицу 1.

Таблица 1 - Данные для расчета

кг					Нм	м					град
50	18	10		50	75	0,30	0,25	0,10	2,50	0,2	30

Примечание - - радиус инерции блока 2.

2.3 Условия расчета

2.3.1 Для расчета применить теорему об изменении кинетической энергии изменяемой системы с идеальными связями (2).

2.3.2 Механическая система, состоящая из нескольких тел, приводится в движение из состояния покоя заданными силами.

2.3.3 Учесть силы трения скольжения груза 1.

2.3.4 Всеми другими силами сопротивления пренебречь.

2.3.5 Считать нити нерастяжимыми, массу нитей не учитывать.

2.4 Расчеты

2.4.1 Определение кинетической энергии

Для расчета воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии для системы с идеальными связями (2):

.

Кинетическая энергия начального положения системы равна нулю; то есть

так как система приводится в движение из состояния покоя (п. 2.3.2).

Тогда уравнение (2) примет вид:

(13)

Определяем текущее значение кинетической энергии системы. Она равна сумме кинетических энергий тел 1, 2, 3, 4 (рисунок 5).

(14)

где Т₁ - кинетическая энергия груза 1, Дж;

Т₂ - кинетическая энергия барабанов 2, Дж;

Т₃ - кинетическая энергия блока 3, Дж;

Т₄ - кинетическая энергия груза 4, Дж.

Рисунок 5 - К определению кинетической энергии системы

Предположим, что груз 1 движется вверх по наклонной плоскости. Тогда его кинетическая энергия, как тела, движущегося поступательно, на основании формулы (3) равна

(15)

где - масса груза 1, кг;

- скорость груза 1, мс^-1.

Кинетическая энергия барабанов 2, вращающихся вокруг неподвижной оси О, определяется по формуле (8):

где - момент инерции массы барабанов относительно их оси вращения, кгм²;

- угловая скорость барабанов 2, радс^-1.

Момент инерции массы барабанов 2 определяется по формуле (10):

,

где - радиус инерции барабанов 2, м.

Линейная скорость точек обода барабана равна скорости движения груза 1 (см.рисунок 5):

Угловая скорость вращения барабанов 2 равна

Кинетическая энергия барабанов 2

(16)

Кинетическая энергия блока 3, совершающего плоское движение, определяется по формуле (12):

(17)

где - скорость центра масс тела, мс^-1;

- момент инерции массы блока 3, относительно оси, проходящей через центр масс тела, кгм²;

- угловая скорость вращения блока 3, радс^-1.

Момент инерции блока 3 определяется по формуле (9):

(18)

Зная, что окружные скорости точек обода а определяем положение мгновенного центра скоростей (см.рисунок 5). Расстояние от м.ц.с. до точек D, Е, С равны (см.рисунки 4 и 5).

Угловая скорость вращения равна

(19)

Линейная скорость точки С равна

(20)

Подставляем выражения (18), (19) и (20) в формулу (17). Кинетическая энергия блока 3 равна

(21)

Кинетическая энергия звена 4, совершающего поступательное движение, определяется по формуле (3)

Так как то

(22)

Подставляя выражения (15), (16), (21) и (22) в формулу (14), находим кинетическую энергию всей системы в зависимости от скорости груза 1 [4]:

или

где через обозначена величина, имеющая размерность массы: