5. Лабораторная работа №3
Исследование частотных характеристик
элементарных динамических звеньев
5.1. Цель выполнения лабораторной работы
1) Формирование знаний и умений определения частотных характеристик элементарных динамических звеньев;
2) Формирование опыта:
построения и чтения структурных схем цифровых моделей;
определения частотных характеристик элементарных динамических звеньев;
оценки результатов измерений;
самостоятельного составления схем для моделирования САР в программе «Electronics Workbench».
5.2. Краткие теоретические сведения
5.2.1. Комплексный коэффициент передачи
Рис.5.1
Рис.5.2
Если на вход исследуемого линейного звена (рис.5.1) подать гармонический сигнал х(t) ( рис.5.2)
(5.1)
где Хо=const амплитуда входного сигнала, =2f циклическая частота, f частота колебаний1,
т
(5.2)
где Y() и () соответственно амплитуда и фаза выходного сигнала являются функциями частоты.
Звено или САР передает гармонические сигналы на выход в зависимости от частоты. Частотную зависимость Y() при Хо=const можно назвать амплитудночастотной характеристикой (АЧХ).
Частотная зависимость угла () соответствует зависимости задержки от частоты входного сигнала и называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ).
Полное описание изменения амплитуды и фазы сигнала при прохождении через динамическое звено или САР дает комплексный коэффициент передачи, который определяется как отношение
(5.3)
Физически реализуемые сигналы х(t) и у(t) являются функциями, к которым можно применить преобразование Лапласа. При нулевых начальных условиях состояния САР (или динамического звена) входному х(t) и выходному у(t) соответствуют преобразования Лапласа X(P) и Y(P), где р=+j – комплексная переменная.
Передаточной функцией САР называется функция, определяемая по формуле
W(P)=Y(P)/X(P), (5.4)
где X(P) и Y(P) – преобразованные по Лапласу соответственно входной и выходной сигналы САР при нулевых начальных условиях..
Положим в (5.4), что действительная часть комплексной переменной р равна нулю: =0. Тогда p=j и из формулы (5.4) следует, что
(5.5)
Формула (5.5) дает описание амплитуднофазочастотной характеристики (АФЧХ) и она совпадает с выражением (5.3) для комплексного коэффициента передачи.
Произведем очевидные преобразования формулы (5.5):
(5.6)
(5.7)
В формулах (5.6) и (5.7) модуль комплексного коэффициента передачи W() является математическим описанием амплитудночастотной характистики, а аргумент () фазочастотной характеристики.
Частотные характеристики (графики) W() и () получают при изменении частоты от нуля до бесконечности.
Заметим, что функции R() и I() являются аналитическими выражениями соответственно для действительной и мнимой частотных характеристик.
Таким образом, чтобы получить амплитудно и фазочастотные характеристики следует:
подставить в выражение для передаточной функции вместо переменной р мнимую переменную j;
представить комплексный коэффициент передачи в форме Эйлера;
записать модуль АФЧХ как функцию частоты это будет математическим выражением для АЧХ динамического звена;
записать аргумент АФЧХ как функцию частоты это будет математическим выражением ФЧХ динамического звена или САР;
построить графики АЧХ и ФЧХ при изменении частоты от 0 до .
Логарифмические частотные характеристики. Работа динамического звена или САР осуществляется в широком частотном диапазоне частота входного сигнала может изменяться на несколько порядков. Динамический диапазон выходного сигнала также может изменяться в широких пределах, от большого усиления амплитуды входного сигнала, до её глубокого подавления.
В связи с этим для получения наглядного и характерного изображения частотных характеристик во всем диапазоне рабочих частот и при всех изменениях коэффициента передачи применяется логарифмический масштаб.
Л
(5.8)
.
При этом размерность L() децибелы.
Построение графика функции L() выполняется с использованием логарифмического масштаба по частоте. Координатная сетка, используемая для построения ЛАЧХ, показана на рис.5.3. При этом следует обратить внимание, что по горизонтальной оси откладывается логарифм частоты, а записывается значение частоты. Равными масштабными отрезками являются отрезки, соответствующие декадному изменению частоты. Декадой называется изменение частоты в 10 раз. Для самостоятельного построения логарифмической частотной координаты необходимо:
выбрать удобный для построения графиков масштабный отрезок длиной s мм;
Рис.5.3
вычислить размеры отрезков логарифмического масштаба внутри декады по формуле:
sm=s[lg(m)]; m=2,3,4,5,6,7,8,9; (5.9)
отложить от начала масштабного отрезка отрезки sm и оцифровать соответственно декаде, например для первой декады это будут числа 2, 3, … , 9; для второй декады – 20, 30, 40, …, 90 и т.д.
Построение логарифмической ФЧХ производится также в логарифмическом масштабе по частоте, но с сохранением линейного масштаба по фазе.
Амплитуднофазочастотная характеристика. Представление об изменении амплитуды и фазы выходного сигнала по сравнению с соответствующими параметрами сигнала на входе можно получить и без отдельного построения АЧХ или ФЧХ. Достаточно воспользоваться формулой (5.6) и построить график зависимости модуля W() и фазы () комплексного коэффициента передачи на комплексной плоскости в прямоугольных или полярных координатах.
Способ 1. 1) Провести две перпендикулярные прямые на плоскости и обозначить (рис.5.4):
точку пересечения прямых точкой О начало координат;
горизонтальную ось R() ось действительных чисел;
вертикальную ось I() ось мнимых чисел.
2) Последовательно задавая значения частоты i 0i <:
вычислить по формуле (9) значения действительной R(i)= Ri и мнимой I(i)=Ii частотных характеристик;
Рис.5.4
поставить в соответствие числам Ri и Ii iю точку АФЧХ.
Множество полученных таким образом точек выстроятся в график, который является АФЧХ динамического звена или САР.
Рис.5.5
2) Последовательно задавая значения частоты i 0i <:
вычислить модуль комплексного коэффициента передачи Wi =W(i);
вычислить аргумент комплексного коэффициента передачи i=(i);
из начала координат провести луч под углом i к горизонтальной прямой, при этом следует учитывать, что отрицательный угол откладывается в направлении, совпадающем с ходом стрелки часов;
выбрать масштаб ml и отложить на проведенном отрезке длину ri=mlWi.
Точка конца отрезка является одной из точек графика АФЧХ. Множество, полученных таким образом точек выстроятся также в график, который является АФЧХ динамического звена или САР.