Угол, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой двух дуг, из которых одна заключена между его сторонами, а другая - между продолжениями сторон.
Угол, вершина которого лежит вне круга и стороны пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью двух дуг, заключенных между его сторонами.
2. Доказать теорему о площади параллелограмма.
Определение 2. Высотой параллелограмма называется общий перпендикуляр его противоположных сторон (или прямых, содержащих эти стороны).
Теорема
о площади параллелограмма 1.
Площадь параллелограмма равна
произведению его стороны и проведенной
к ней высоты:
Д
оказательство:
Теорема
о площади параллелограмма 2.
Площадь параллелограмма равна
произведению его сторон и синуса
угла между ними:
Д
оказательство:
Билет № 12.
1. Доказать теоремы, выражающие свойства хорд и диаметров окружностей.
С
войство
1. Диаметр
перпендикулярен
хорде, не являющейся диаметром, тогда
и только тогда, когда он проходит
через середину хорды.
Дано: О – окружность; DE – диаметр; АВ – хорда;
АВ ∩ DE = {C}. AC = CB.
Доказать: АВ DE.
Доказательство:
1. Соединим концы хорды АВ с центром окружности. ОА = ОВ = R.
2. Рассмотрим равнобедренный треугольник АОВ. (ОА = ОВ = R). ОС – медиана, проведенная к основанию, по условию (АС = СВ) ОС – высота ОС АВ.
Следствие. Расстояние от центра окружности до хорды равно расстоянию от центра до середины хорды.
Свойство 1 (обратная теорема). Диаметр, перпендикулярный хорде, не являющейся диаметром, проходит через середину хорды.
Свойство 2. Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от центра.
Д
ано:
О – окружность; АВ и CD
– хорды;
OC АВ; OF DE.
Доказать: АВ = DE.
Доказательство:
1. Соединим точки В и Е с центром окружности. ОЕ = ОВ = R.
2. Рассмотрим треугольники сов и eof.
3.
BC
=EF
AB=ED.
Свойство 2 (обратная теорема). Если хорды одной окружности равны, то они равноудалены от центра.
С
войство
3. Хорды
одной окружности равны тогда и только
тогда, когда они стягивают равные
центральные углы.
Дано: О – окружность; АОВ =DОЕ.
Доказать: АВ = DE.
Доказательство:
1. Соединим концы хорд АВ и DE с центром окружности. OA = OB = ОЕ = ОD = R.
2. Рассмотрим треугольники aов и eod.
2. Доказать теорему о скалярном произведении двух векторов и теорему косинусов с помощью векторов.
Из
курса физики известно, что механическая
работа А, совершаемая постоянной
силой
при перемещении
тела, равна произведению:
где
- угол между направлением перемещения
и направлением действия силы. Следует
заметить, что механическая работа –
скалярная величина.
Проекция
вектора
на ось с единичным вектором
вычисляется именно как такое
произведение:
где
- угол между векторами
и
.
Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их модулей и косинуса угла между ними.
где
Если один из векторов нулевой, то их скалярное произведение равно 0.
Если
Для
любых ненулевых векторов
и
их скалярное произведение
тогда и только тогда, когда
При ненулевых модулях
Теорема
(о выражении скалярного произведения
векторов в координатах).
Скалярное произведение векторов
равно сумме произведений одноименных
координат этих векторов:
Доказательство:
Отложим
от начала координат вектор
и вектор
Пусть векторы неколлинеарны и образуют
Используем обобщенную теорему Пифагора
для вычисления длины стороны АВ в
∆ОАВ:
Здесь
Тогда
Выразим полученную формулу в координатах:
Если
векторы
и
коллинеарны, то
Тогда
Свойства
скалярного умножения.
Выполняются
для любых векторов
и любого числа х:
Доказанные свойства вместе со свойствами сложения векторов позволяют скалярно умножать суммы и разности векторов по правилам алгебры.
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Д
оказательство:
Пусть АВС – данный треугольник. Докажем, что
Имеем
векторное равенство:
Возведя
это равенство скалярно в квадрат,
получим:
или
Следствие. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон «» удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак «+» надо брать, если противолежащий угол тупой, а знак «-», когда угол острый.
Билет № 13.