1.5. Измерение разброса: размах варьирования, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение), коэффициент вариации

Размах варьирования R – простейшая мера разброса значений данной выборки. Если – максимальная, – минимальная варианты, то . Этой величиной пользуются при работе с маленькими выборками.

Более эффективные меры разброса должны учитывать все элементы выборки. Такой мерой является выборочная дисперсия D_В:

,

где k – число различных вариант выборки в дискретном статистическом распределении; п_i – частота варианты х_i ( ). Если же выборка сгруппирована в интервальный статистический ряд, то в качестве вариант х_i берут середины соответствующих интервалов .

Выборочным средним квадратическим отклонением или стандартным отклонением называется .

Для большинства унимодальных законов распределения и, следовательно, выборок из таких генеральных совокупностей выполняются:

• «правило двух сигм»: более 95% значений выборки лежат в интервале ;

• «правило трех сигм»: более 99% значений выборки лежат в интервале ;

Коэффициент вариации служит для сравнения стандартных отклонений нескольких выборок.

Если коэффициенты вариации оказались величинами одного порядка, то средние рассеяния данных относительного среднего в этих выборках можно считать примерно равными. Тот из рядов, у которого коэффициент вариации больше, имеет большее рассеяние по отношению к выборочной средней. Коэффициент вариации — безразмерная величина, поэтому он пригоден для сравнения рассеяний вариационных рядов, варианты которых имеют различную размерность.

1.6. Условные варианты

Предположим, что варианты выборки расположены в возрастающем порядке, то есть в виде вариационного ряда.

Равноотстоящими называют варианты, которые образуют арифметическую прогрессию с разностью h.

Условными называются варианты, определяемые равенством

,

где С – ложный нуль (новое начало отчета); h – шаг, то есть разность между любыми двумя соседними первоначальными вариантами (новая единица масштаба).

Упрощенные методы расчета сводных характеристик выборки основаны на замене первоначальных вариант условными.

Покажем, что если вариационный ряд состоит из равноотстоящих вариант с шагом h, то условные варианты есть целые числа. Действительно, выберем в качестве ложного нуля произвольную варианту, например . Тогда

Так как i и m – целые числа, то их разность – также целое число.

Замечание 1. В качестве ложного нуля можно принять любую варианту. Максимальная простота вычислений достигается, если выбрать в качестве ложного нуля варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда (часто такая варианта имеет наибольшую частоту).

Замечание 2. Варианте, которая принята в качестве ложного нуля, соответствует условная варианта, равная нулю.

Пример. Найти условные варианты статистического распределения:

варианты …23,6 28,6 33,6 38,6 43,6

частоты … 5 20 50 15 10

Решение. Выберем в качестве ложного нуля варианту 33,6 (эта варианта расположена в середине вариационного ряда).

Найдем шаг:

Найдем условную варианту:

Аналогично получим: , , , . Мы видим, что условные варианты – небольшие целые числа. Разумеется, оперировать с ними проще, чем с первоначальными вариантами.