- •Определители. Свойства определителей.
- •Метод треугольника
- •Правило Саррюса
- •Минор. Алгебраическое дополнение. Определитель n-го порядка.
- •Основные свойства определителей
- •Матрицы. Операции над матрицами.
- •Виды матриц
- •Операции над матрицами.
- •Обратная матрица.
- •Алгоритм построения обратной матрицы
- •Системы линейных алгебраических уравнений.(слау).
- •Метод Крамера
- •Матричный способ решения слау
- •Элементарные преобразования слау
- •Метод Гаусса
- •Прямой ход Гаусса (алгоритм)
- •Обратный ход метода Гаусса
- •Векторная алгебра
- •Линейные операции над векторами
- •Свойства линейных операций над векторами
- •Линейная зависимость и независимость векторов
- •Свойства линейной комбинации векторов
- •Понятие базиса. Координаты вектора.
- •Операции над векторами, разложенными по базису.
- •Декартов базис
- •Деление отрезка в данном отношении
- •Скалярное, векторное и смешенное произведение векторов
- •Аналитическая геометрия. Прямая на плоскости.
- •Задачи на прямую линию.
- •Нормальный и направленный вектор прямой
- •Плоскость в пространстве
- •Прямая в пространстве
- •Взаимное расположение прямых
- •Взаимное расположение прямой и плоскости
Плоскость в пространстве
Виды уравнений в плоскости:
О
(
М
О
z
х
Пусть дана плоскость . Проведем к этой плоскости . Пусть , пусть единичный вектор, соответствующий вектору .
Возьмем произвольную точку М и проведем в эту точку вектор из начала координат. Очевидно, что проекция любого на
(1) нормальное уравнение плоскости в векторном виде.
(2) нормальное уравнение плоскости в координатном виде.
( 2)
z
М
у
х
Пусть дан и пусть . Пусть дана Рассмотрим , тогда и соответственно будут радиус-векторами точек и , поскольку он , лежащему в этой плоскости, поэтому =0
(3) общее уравнение плоскости в векторном виде.
(4) общее уравнение плоскости в координатном виде.
Замечание: если плоскость не проходит через начало координат, то всегда можно перейти от общего уравнения плоскости к нормальному уравнению. Для этого необходимо уравнение (4) умножить на нормирующий множитель при этом берется знак (+), если в уравнении (4) D и (-), если .
(3)Частные случаи общего уравнения плоскости.
Ах+Ву+Сz+D=0
1)Пусть D=0, тогда проходит через О(0,0,0)
2)D , Ах+Ву+Сz=-D
(5) уравнение плоскости в отрезках.
3)
4)
(4)Уравнение плоскости, с данным нормальным вектором, проходящий через данную точку.
Запишем формулу (3):
(6)
заданная точка
данный нормальный вектор
Замечание: при разложенных А,В,С мы получим уравнения различных плоскостей, проходящих через точку М , таким образом, формула (6) задает уравнение пучка плоскостей, проходящих через точку .
Для вывода уравнений плоскости п.5,6,7 мы воспользуемся условием компланарности трех векторов, т.е. равенством нулю смешенного произведения этих векторов.
(5)Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, параллельную двум данным векторам.
М
Легко заметить, что , , компланарны=0
(7) уравнение плоскости, проходящей через данную точку двум данным векторам.
(6) Уравнение плоскости, проходящей через две данные точки, параллельные данному вектору.
Возьмем произвольную точку М(х,у,z) . Очевидно, что векторы , и -их смешенное произведение=0.
( , , )=0
=0
уравнение плоскости, проходящей через две данные точки, параллельные данному вектору.
(7)Уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки.
М(х,у,z)
Возьмем М . Очевидно, что векторы компланарны и определитель=0
=0 (9) уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки
(8)Расстояние от точки до плоскости.
=0
М
К
(10)-расстояние от точки до плоскости
(9)Взаимное расположение плоскостей.
1
(11) Условие параллельности плоскостей
Если , то плоскости и совпадают.
2)
(12) условие плоскостей
3)
Линия пересечения плоскостей задается системой, состоящих из их уравнений, а cos угла между плоскостями (13)