6.2 Якісний аналіз рівнянь Ван-дер-Поля
Розглянемо природу
автоколивань за допомогою якісних
міркувань. Будемо вважати, що після
деякого малого початкового збурення
починаються коливання з малими
амплітудами. Поки коливання малі і
виконується умова
,
другий доданок рівняння (6.1) надає, по
видимому, дестабілізуючу
дію, і коливання будуть зростати. Але з
їх збільшенням нерівність
стане порушуватися і в інтервалах часу,
де
,
другий доданок рівняння (6.1) буде надавати
демпфіруючий
вплив. Рух системи стане наближатися
до стаціонарного режиму, який
характеризується взаємною компенсацією
дестабілізуючого і демпфуючого впливів.
Фазовий
портрет такого явища представлений на
рис.
6.2.
Такий
процес досягнення стійкого руху
називається м'яким
самозбудженням.
Рисунок 6.2 – Фазовий портрет автоколивань зі стійким граничним циклом
6.3 Коливальні системи з нелінійним тертям
Розглянемо сили
тертя виду
,
що призводить до рівняння Ван-дер-Поля
у формі
;
(6.2)
тут
.
При
малих відхиленнях системи від стану
рівноваги реалізується режим I
(рис. 6.2) і рух прагне до стійких рухів
з характеристиками граничного циклу.
При досить великих початкових збуреннях
демпфіруюча
дія
члена
позначиться значніше, ніж дестабілізуюча
дія
лінійного члена
,
тобто коливання будуть затухати (лінія
II
на рис.
6.2) і рух
системи прагнути до стаціонарного
режиму. Замкнута лінія
є стійким
граничним циклом.
Системи, що описуються рівняннями
;
поводяться протилежно розглянутим вище.
Для малих відхилень фазові траєкторії відповідають сталому фокусу (лінія I на рис. 6.3), а при достатньо великих початкових збуреннях амплітуди будуть необмежено зростати (лінія II).
Тут також існує граничний цикл, але він нестійкий, тому що фазові траєкторії віддаляються від граничного циклу. Системи, що володіють такими властивостями, називають системами з жорстким самозбудженням, оскільки зростаючі коливання виникають внаслідок великих початкових збурень.
6.4 Метод енергетичного балансу в задачах визначення стаціонарного режиму автоколивальних систем
Розглянемо рішення задачі про стаціонарні автоколивання квазілінійних систем, диференціальне рівняння руху яких має вигляд:
.
(6.3)
Рисунок 6.3 – Фазовий портрет автоколивань з нестійким граничним циклом
Нехай
функція
складається з малих нелінійних членів.
Тоді можна прийняти, що частота
автоколивань дорівнює власній частоті
системи і шукати розв’язко
у вигляді
,
де
- постійні
величини.
У
відповідності з ідеєю методу енергетичного
балансу (3.2) вимагатимемо, щоб робота
«неврівноваженої сили»,
(тут
– інерційний коефіцієнт рівняння) за
період
дорівнювала нулю. Умова енергетичного
балансу дає вираз для визначення
стаціонарної амплітуди автоколивань:
,
(6.4)
де введемо
.
Розглянемо приклад автоколивальної системи зі звичайною силою в'язкого тертя і силою негативного кулонівського тертя (рис. 6.4), яка і є причиною самозбудження коливань.
Диференціальне рівняння руху має вигляд
Функція
або
Рисунок 6.4 – Характеристика сили тертя
Умова (6.4) тепер дає
,
звідки
.