БИЛЕТ 1

1) Теорема  Две прямые, параллельные третьей, параллельны.    Доказательство.  Пусть прямые a и b параллельны прямой с. Допустим, что прямые a и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке С. Получается, что через точку С проходит две прямые параллельные прямой с. Но это противоречит аксиоме «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной». Теорема доказана.  Теорема  Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.    Доказательство.  Пусть есть параллельные прямые a и b, которые пересекаются секущей прямой с. Прямая с пересекает прямую а в точке A и прямую b в точке B. Проведем чрез точку A прямую a1 так, что бы прямые a1 и b с секущей с образовали равные внутренние накрест лежащие углы. По признаку параллельности прямых прямые a1 и b параллельны. А так как через точку A можно провести только одну прямую параллельную b, то a и a1 совпадают.  Значит, внутренние накрест лежащие углы, образованные прямой a и b, равны. Теорема доказана. 

2)  А к с и о м а 1.Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

 А к с и о м а 2.Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости.

 А к с и о м а 3.Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, которой принадлежат все общие точки этих плоскостей.

 А к с и о м а 4.В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.

3)да

4)

БИЛЕТ2

1)Прямая называется перпендикулярно к плоскости если она перпендикулярна прямой плоскости.

1 Если одна прямая из двух паралнльных плоскости, то и другая прямая перпендикулярно ей.

2 Если две прямые перпендикулярны плоскости то они параллельны.

2) Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения. Перпендикуля́рность — бинарное отношение между различными объектами в евклидовом пространстве.

3) Нет

4)

Билет3

1)

Теорема 1 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.  Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Доказательство: Пусть а прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости  . Тогда прямая а проходит через точку А пересечения прямых b и c. Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости  . Проведем произвольную прямую х через точку А в плоскости   и покажем, что она перпендикулярна прямой а. Проведем в плоскости  произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую прямые b, c и х. Пусть точками пересечения будут В, С и Х. Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные отрезки АА1 иАА2. Треугольник А1СА2 равнобедренный, так как отрезок АС является высотой по условию теоремы и медианой по построению (АА1=АА2). по той же причине треугольник А1ВА2 тоже равнобедренный. Следовательно, треугольники А1ВС и А2ВС равны по трем сторонам. Из равенства треугольников А1ВС и А2ВС следует равенство углов А1ВХи А2ВХ и, следовательно равенство треугольников А1ВХ и А2ВХ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства сторон А1Х и А2Х этих треугольников заключаем, что треугольник А1ХА2 равнобедренный. Поэтому его медиана ХА является также высотой. А это и значит, что прямая х перпендикулярна а. По определению прямая а перпендикулярна плоскости  . Теорема доказана.

2) Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

3) Пусть число вершин в многоугольниках = n, тогда

число вершин призмы = n+n=2n, а 2n кратно 2, следовательно оно чётно число сторон n-угольника = n, тогда число рёбер призмы = n(от 1 многоуг.) + n(от 2 многоуг.) + n(отрезки соедин. соотв. вершины)=3n , а 3n кратно 3

Билет4

1)

Теорема 4 О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ. Если прямая, проведенная на плоскости черезоснование наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Доказательство: Пусть АВ - перпендикуляр плоскости  , АС - наклонная и с - прямая в плоскости  , проходящая через основание С. Проведем прямую СA1, параллельную прямой АВ. Она перпендикулярна плоскости  . Проведем через прямые АВ и СA1 плоскость  . Прямая сперпендикулярна прямой СA1. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости  , а значит, и прямой АС. АНАЛОГИЧНО. Если прямая с перпендикулярна наклонной АС то она, будучи перпендикулярна и прямой СA1 перпендикулярна плоскости  , а значит, и проекции наклонной СВ. Теорема доказана.

2) Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общей точки или прямая лежит в плоскости.

3) нет

Билет5

1)

2) Для любых векторов заданных в пространстве, справедливы равенства

	Переместительный закон
	Сочетательный закон

3)нет

Билет6

1)

Теорема 5 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ. Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Доказательство: Пусть   - плоскость , b - перпендикулярная ей прямая,  - плоскость проходящая через прямую b, и с - прямая по которой пересекаются плоскости   и  . Докажем, что плоскости   и  перпендикулярны. Проведем в плоскости   через точку пересечения прямой b с плоскостью  прямую а, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и bплоскость  . Она перпендикулярна прямой с, так как прямые а и bперпендикулярны, то плоскости   и   перпендикулярны. Теорема доказана.

2) Две прямые в трёхмерном евклидовом пространстве скрещиваются, если не существует плоскости, их содержащей. Иначе говоря, две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, но не являющиеся параллельными.

3) Если три точки соединять попарно отрезками, то получится треугольник, а это часть плоскости, а значит и все отрезки лежат в одной плоскости

Билет7

1) Теорема  Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.    Доказательство  Пусть α - плоскость, a – не лежащая в ней прямая и a1 – прямая в плоскости α, параллельная прямой a. Проведем плоскость α1 через прямые a и a1. Плоскости α и α1 пересекаются по прямой a1. Если бы прямая a пересекала плоскость α, то точка пересечения принадлежала бы прямой a1. Но это невозможно, так как прямые a и a1 параллельны. Следовательно, прямая a не пересекает плоскостью α, а значит, параллельна плоскости α. Теорема доказана.

2) Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.Если две прямые a и b параллельны, то, как и в планиметрии,пишут a  ||  b . В пространстве прямые могут быть размещены так, что они не пересекаются и не параллельны

3)

Билет8

1) Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость

2) Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е. на длину бокового ребра.

3)

Билет9

1)

Теорема 1 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.  Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Доказательство: Пусть а прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости  . Тогда прямая а проходит через точку А пересечения прямых b и c. Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости  . Проведем произвольную прямую х через точку А в плоскости   и покажем, что она перпендикулярна прямой а. Проведем в плоскости  произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую прямые b, c и х. Пусть точками пересечения будут В, С и Х. Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные отрезки АА1 иАА2. Треугольник А1СА2 равнобедренный, так как отрезок АС является высотой по условию теоремы и медианой по построению (АА1=АА2). по той же причине треугольник А1ВА2 тоже равнобедренный. Следовательно, треугольники А1ВС и А2ВС равны по трем сторонам. Из равенства треугольников А1ВС и А2ВС следует равенство углов А1ВХи А2ВХ и, следовательно равенство треугольников А1ВХ и А2ВХ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства сторон А1Х и А2Х этих треугольников заключаем, что треугольник А1ХА2 равнобедренный. Поэтому его медиана ХА является также высотой. А это и значит, что прямая х перпендикулярна а. По определению прямая а перпендикулярна плоскости  . Теорема доказана.

2) Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник, а основание ее высоты совпадает с центром этого многоугольника. Под центром многоугольника понимается центр вписанной или описанной окружностей. 

3)

Билет10

1). Две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Это свойство называется транзитивностью параллельности прямых.

Доказательство

Пусть прямые a и b одновременно параллельны прямой c . Допустим, что a не параллельна b , тогда прямая a пересекается с прямой b в некоторой точке A , не лежащей на прямой c по условию. Следовательно, мы имеем две прямые a и b , проходящие через точку A , не лежащую на данной прямой c , и одновременно параллельные ей. Это противоречит аксиоме 3.1. Теорема доказана.

2) Умножение вектора на число (Произведением вектора a и числа α называется вектор, обозначаемый α∙a. (или наоборот a∙α), модуль которого равен |α a| =|α||a|, а направление совпадает с направлением вектора a, если α>0, и противоположно ему, если α< 0.

3)

Билет11

1) теорема 2.6. Признак параллельности плоскостей.

Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны.

Доказательство:

Пусть прямые a и b лежат в плоскости β, причем a  || α и b  || α (чертеж 2.3.1). Если плоскости α и β не параллельны, то они пересекаются по некоторой прямой c . Поскольку a  || α, то по теореме о следе  c  ||  a . Аналогично получаем, что c  ||  b , тогда a  ||  b . Мы пришли к противоречию, поскольку a и b по условию пересекаются.