• Нахождение границ доверительных интервалов для математических ожиданий arcth(rxy/z), arcth(rxz/y), arcth(ryz/X)

Отправное неравенство: .

Результаты вычислений сведены в таблицу:

rxy/z	-0.8808	0.3587
rxz/y	-1.2623	-0.0228
ryz/x	-1.2803	-0.0407

• Установление границ доверительных интервалов для частных коэффициентов корреляции ρ_xy/z, ρ_xz/y, ρ_yz/x - обратное преобразование Фишера границ доверительных интервалов для M{arcth(r_xy/z)}, M{arcth(r_xz/y)}, M{arcth(r_yz/x)}

Способы:

• или с помощью статистической таблицы 6 (Z-преобразования Фишера),

• или используя статистическую функцию Microsoft Excel ФИШЕРОБР(y), где y - значение, для которого совершается обратное преобразование.

Отправное неравенство:

.

Отсюда

th(-0,8808)= -0,707< ρ_xy/z <0,3441=th(0,3587);

th(-1,2623)= -0,852< ρ_xz/y <-0,023=th(-0,0228);

th(-1,2803)= -0,857< ρ_yz/x <-0,041=th(-0,0407).

Вывод

Доверительные интервалы для частных коэффициентов корреляции ρ_xz/y, ρ_yz/x не содержат нуля, что дополнительно подтверждает значимость этих коэффициентов.

Сопоставление частных и парных коэффициентов корреляции

Исходные статистические данные указывают на то, что между признаками X, Z и между Y, Z имеется существенная обратная умеренная корреляционная зависимость. Влияние третьей переменной (Y, соответственно X) приводит к усилению зависимости между отмеченными случайными величинами, не изменяя направления их связи.

4. Исследование множественных коэффициентов корреляции

Условие парной независимости признаков X, Y, Z есть необходимое, но не достаточное условие для обеспечения стохастической независимости этих случайных величин в совокупности, а именно, нулевые значения всех парных коэффициентов корреляции различных переменных данной совокупности не служат в общем случае основанием для вывода об их независимости в целом, что приводит к необходимости использования при корреляционном анализе помимо парных и частных коэффициентов корреляции также множественных коэффициентов корреляции.

Множественный коэффициент корреляции между каким-либо показателем (признаком объекта), включенным в анализ, и двумя другими показателями из числа рассматриваемых есть неотрицательная числовая характеристика силы взаимосвязи между данным показателем и совокупностью остальных показателей.

Выборочные множественные коэффициенты корреляции

;

;

.

Проверка значимости множественных коэффициентов корреляции

(при уровне значимости применяемого статистического критерия α=0,05)

Проверяемые гипотезы:

H0: ρx/yz=0

H0: ρy/xz=0

H0: ρz/xy=0

Наблюдаемые значения статистики критерия:

.

Нахождение F_кр - критического значения области отвержения гипотезы

Способы:

• или из статистической таблицы 4 - значения , удовлетворяющие условию , где - случайная величина, распределенная по закону Фишера, с числами степеней свободы ν_1, ν₂, - на основании уравнения:

,

• или с помощью статистической функции Microsoft Excel FРАСПОБР(вероятность;степени_свободы1;степени_свободы2):

F_кр=FРАСПОБР(α;2;n-3).

В данном случае

F_кр=3,9823.

Условие отвержения гипотезы о незначимости множественного коэффициента корреляции

F>F_кр.

Результаты проверки гипотез:

• гипотеза H₀: R_x/yz=0 не отвергается, множественный коэффициент корреляции между X и {Y, Z} не значим;

• гипотеза H₀: R_y/xz=0 не отвергается, множественный коэффициент корреляции между Y и {X, Z} не значим;

• гипотеза H₀: R_z/xy=0 отвергается, множественный коэффициент корреляции между Z и {X, Y} значим.

5. Оценка уравнения множественной линейной регрессии

Определение выборочного аналога уравнения регрессии имеет смысл только для тех признаков, множественные коэффициенты корреляции которых значимы. Таким образом, согласно полученным результатам проверки соответствующих гипотез, оценивать следует уравнение регрессии Z на (X, Y):

.

Выборочные условные средние квадратические отклонения

; ;

; .

Выборочные частные коэффициенты регрессии

; .

Выборочное уравнение регрессии

.

В данном случае

или

.

Общий вывод

Результаты выполненного корреляционного анализа показывают, что признак Z имеет статистически значимую умеренную связь как с двумерным массивом признаков X, Y, так и с каждым из этих признаков в отдельности, что дает основание для перехода ко второму этапу статистического исследования - построению регрессионной модели, т.е. выявлению той конкретной математической зависимости переменной Z от переменных X, Y, которой наилучшим, в определенном смысле этого слова, образом отвечают имеющиеся статистические данные.

II. Регрессионный анализ

Постановка задачи

Требуется по указанным выше статистическим данным n=14 стран произвести регрессионный анализ зависимости уровня смертности от средней продолжительность жизни женщин и уровня рождаемости.

Трехмерная линейная модель регрессии

,

где

x, y, z - соответственно значения предикторов X, Y и критериальной переменной Z;

β₀, β₁, β₂ – неизвестные параметры модели;

ε – остаточная компонента (возмущение), численно характеризующей случайность в изменении значения переменной Y.

Установление оценок параметров исходной модели регрессионного анализа с помощью метода наименьших квадратов

Статистической мерой остаточной компоненты ε в методе наименьших квадратов служит сумма квадратов отклонений действительных (экспериментальных) значений критериальной переменной от соответствующих теоретических (расчетных) значений. Выбираются такие значения параметров модели, при которых данная сумма квадратов будет наименьшей.

Вектор - несмещенная МНК-оценка параметров - находится по формуле: .

В рассматриваемом случае матрицы , , имеют вид:

Определение вектора осуществляется следующим образом.

1. Находится произведение матриц , :

2. Вычисляется произведение матриц :

3. Определяется матрица, обратная к матрице :

.

4. Находится вектор МНК-оценок параметров модели:

.

Итак,

.

Следовательно, выборочное уравнение линейной регрессии представимо в виде

.