2 Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Гост 8.207 – 76.

При статистической обработке группы результатов наблюдений, объемом х₁,х₂,…,х_n следует выполнить следующие операции:

1) Вычислить среднее арифметическое результатов наблюдений, принять его за результат измерения

; (1.1)

2) Вычислить оценку среднего квадратического отклонения ряда измерений (результатов наблюдений, метода измерений)

; (1.2)

3) Проверить результаты наблюдений на наличие промахов. Можно использовать любой из известных критериев. При выявлении промахов исключить их из результатов наблюдений и заново определить результат измерения и оценку среднего квадратического отклонение по формулам 1.1 и 1.2.

4) Вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата измерений

; (1.3)

5) Вычислить границы неисключенной систематической погрешности результата измерения

(1.4)

6) Представить результаты прямых многократных наблюдений, используемые в дальнейшей обработке результата косвенного измерения и анализе погрешностей, в форме:

; (1.5)

7) Представить результаты прямых многократных наблюдений с учетом суммарной составляющей погрешности, как систематической, так и случайной составляющих с доверительными границами 0,95.

• Определение доверительных границ неисключенных

систематических погрешностей (НСП) результата измере­ния

При тщательной попытке исключить систематическую состав­ляющую погрешности какая-то часть ее все равно останется неисключённой. Доверительную границу НСП можно вычислить в результате анализа условий проведения эксперимента (например, неисключенная погрешность метода измерения, пределы допускаемой погрешности и пределы дополнительных погрешностей для средства измерения, погрешность округления результатов, погрешность отсчета и т. д.).

Неисключенные систематические погрешности рассматриваются как реализации случайной величины, имеющей равномерное распределение.

Каждая из НСП имеет свою границу Если значения существенно отличаются друг от друга (например, на два порядка или еще больше), то меньшие из них следует отбросить, а оставшиеся просуммировать с учетом вероятностного коэффициента К по формуле

, (1.6)

где – граница i-й неисключенной систематической погрешности, найденная нестатистическими методами;

m — число составляющих НСП;

К — коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью и числом составляющих НСП m.

При Р = 0,9 К =0,95; при Р = 0,95 К = 1,1 при любом значении m.

При Р = 0,99 значения К при различном значении m определяют по таблице 1.

Таблица 1. Значения коэффициента К для определения

доверительных границ НСП при Р =0,99

M	≥5	4	3	2
К	1,45	1,40	1,30	1,20

• Определение доверительных границ случайной составляющей

погрешности результата измерения

При малом числе наблюдений n < 20 доверительный интервал случайной погрешности находят с помощью нормированного распределения Стьюдента по формуле

(1.7)

где t –коэффициент Стьюдента, выбираемый в зависимости от принятой доверительной вероятности Рд и числа наблюдений n.

Значения коэффициентов t распределения Стьюдента в зависимости от принятой доверительной вероятности Рд и числа степеней свободы (n – 1) при малом числе наблюдений n приведены в таблице 2.

Таблица 2 Коэффициенты t распределения Стьюдента

	Число степеней свободы (n – 1)
Рд	3	4	5	6	8	9	10	12
0,90	2,35	2,13	2,1	1,94	1,86	1,83	1,81	1,78
0,95	3,18	2,70	2,57	2,45	2,31	2,27	2,23	2,18
0,99	5,84	4,60	4,03	3,71	3,36	3,25	3,17	3,06

• Определение доверительных границ общей (суммарной)

погрешности результата измерения

Доверительные границы общей погрешности результата косвенного измерения определяются по композиции законов распределения случайной и неисключенной систематической составляющих погрешности в зависимости от значения отношения между систематической и случайной составляющими погрешности.

Если

то суммарная погрешность вычисляется как

, (1.8)

где – коэффициент распределения композиции случайной и неисключенной систематической погрешностей результата косвенных измерений при заданной доверительной вероятности Р_{Д ;}

- оценка суммарного среднего квадратического отклонения композиции указанных законов распределения.

Формулу (1.8) можно использовать в соответствии с ГОСТ 8.207 при условии, что неисключенные систематические погрешности аргументов измерений распределены по равномерному закону, а случайные погрешности по нормальному закону.

Коэффициент вычисляют по эмпирической формуле

. (1.9)

Оценку суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения вычисляют по формуле

. (1.10)

Если , то неисключенной систематической погрешностью по сравнению со случайными пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата (1.11)

Если , то случайной погрешностью по сравнению с неисключенной систематической погрешностью пренебрегают и принимают что граница погрешности результата

(1.12)