- •Математика
- •Основные понятия. Углы.
- •Параллельные прямые.
- •Свойства параллельных прямых.
- •Одним из основных разделов школьного курса геометрии является тема «Многоугольники».
- •Параллелограмм.
- •Прямоугольник.
- •Квадрат.
- •Трапеция.
- •Треугольник.
- •Теорема синусов.
- •Теорема косинусов.
- •Признаки равенства прямоугольных треугольников.
- •Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
- •Окружность и круг.
- •Задачи.
- •Литература
Теорема синусов.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
a = b = c .
sinA sinB sinC
Теорема косинусов.
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. a2=b2 + c2 – 2bc cosA.
Теорема: В любой треугольник можно вписать окружность, причём единственным образом; центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника. (центр вписанной в треугольник окружности всегда лежит внутри треугольника).
Теорема: около любого треугольника можно описать окружность, причём единственным образом; центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. (Центр окружности, описанной около остроугольного треугольника, лежит внутри треугольника; центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника лежит вне треугольника; центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы треугольника).
Площадь треугольника.
1)S=1/2 aha – площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
2)S=1/2 ab sinC – площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
3) – формула Герона.
4)S= r p
5)
a, b, c – длины сторон треугольника.
p=a + b + c
2
r – радиус вписанной окружности.
R – радиус описанной окружности.
Свойства равнобедренного треугольника.
Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны; биссектриса, проведённая к основанию является медианой и высотой.
Свойства прямоугольного треугольника.
1)Сумма 2 острых углов прямоугольного треугольника равна 90.
2)Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 равен половине гипотенузы.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
1)Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
2)Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
3)Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, такие треугольники равны.
4) Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
Т еорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. c2=a2 + b2 . Если взять равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом a, то
по теореме Пифагора получим c2 = a2 + a2 => c2 = 2a2 => c = => c = a , т.е.
гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника в раз больше катета.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Определение: Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе sinA = a/c => a = c sinA – катет прямоугольного треугольника равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего катету угла.
Определение: Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе cosA = b/c => b = c cosA - катет прямоугольного треугольника равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего катету угла.
Определение: Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему tgA = a/b => a = b tgA - катет прямоугольного треугольника равен другому катету, умноженному на тангенс угла, противолежащего искомому катету.
Определение: Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему ctgA = b/a => b = a ctgA - катет прямоугольного треугольника равен другому катету, умноженному на котангенс угла, прилежащего искомому катету.
|
30 |
45 |
60 |
sin |
|
|
|
cos |
|
|
|
tg |
|
1 |
|
ctg |
|
1 |
|