7 Інтегральне числення функцій декількох змінних. Елементи теорії поля
7.1 Теоретичні питання
7.1.1. Подвійний інтеграл. Означення та властивості.
7.1.2. Обчислення подвійних інтегралів в декартових координатах.
7.1.3. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл в полярних координатах.
7.1.4. Геометричні та фізичні застосування подвійних інтегралів.
7.1.5. Потрійний інтеграл. Означення та властивості.
7.1.6. Обчислення потрійних інтегралів в декартових координатах.
7.1.7. Заміна змінних у потрійному інтегралі. Потрійний інтеграл в циліндричних та сферичних координатах.
7.1.8. Застосування потрійних інтегралів.
7.1.9. Криволінійний інтеграл першого роду. Означення та властивості.
7.1.10. Обчислення криволінійних інтегралів першого роду.
7.1.11. Криволінійний інтеграл другого роду. Означення та властивості.
7.1.12. Обчислення криволінійних інтегралів другого роду.
7.1.13. Застосування криволінійних інтегралів першого і другого роду.
7.1.14. Поверхневий інтеграл першого роду. Означення та властивості.
7.1.15. Обчислення поверхневих інтегралів першого роду.
7.1.16. Поверхневий інтеграл другого роду. Означення та властивості.
7.1.17. Обчислення поверхневих інтегралів другого роду.
7.1.18. Взаємозв’язок між криволінійними інтегралами першого та другого роду та між поверхневими інтегралами першого та другого роду.
7.1.19. Застосування поверхневих інтегралів першого і другого роду.
7.1.20. Формула Гріна.
7.1.21. Умови незалежності криволінійного інтеграла від форми шляху інтегрування.
7.1.22. Формула Стокса.
7.1.23. Формула Остроградського-Гаусса.
7.1.24. Потік векторного поля через поверхню. Дивергенція.
7.1.25. Циркуляція векторного поля. Ротор.
7.1.26. Потенціальне поле.
7.2 Тестові теоретичні завдання
7.2.1. Які з наведених нижче тверджень є правильними?
Обмеженість функції
в обмеженій замкненій області
є достатньою умовою її інтегровності
в цій області.
Неперервність функції в обмеженій замкненій області є достатньою умовою її інтегровності в цій області.
Обмеженість функції в обмеженій замкненій області є необхідною умовою її інтегровності в цій області.
Неперервність функції в обмеженій замкненій області є необхідною умовою її інтегровності в цій області.
а) 1 і 4; б) 2 і 3; в) тільки 3;
г) тільки 4; д) інша відповідь.
7.2.2. Які з наведених нижче тверджень є правильними?
Якщо функція інтегровна в області , то вона неперервна в цій області.
Якщо функція інтегровна в обмеженій замкненій області , то вона обмежена в цій області.
Для того, щоб функція була інтегровною в області необхідно і достатньо, щоб область була обмеженою і замкненою, а функція – обмеженою в цій області.
Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області , то вона інтегровна в цій області.
а) тільки 2; б) тільки 3; в) 2 і 4;
г) 3 і 4; д) інша відповідь.
7.2.3. Які з наведених нижче тверджень не є правильними ?
1) Для того, щоб функція була інтегровною в області необхідно, щоб вона була неперервною в цій області.
2) Для того, щоб функція була інтегровною в області необхідно, щоб вона була обмеженою в цій області.
3) Для того, щоб функція була інтегровною в області достатньо, щоб вона була обмеженою в цій області.
4) Для того, щоб функція була інтегровною в області достатньо, щоб область була обмеженою і замкненою, а функція була неперервною в цій області.
а) 2 і 3; б) тільки 1; в) 1 і 3;
г) тільки 2; д) інша відповідь.