Умножение на двузначное и трехзначное числа.

Изучение действий разделено на два этапа:

1. умножение и деление на двузначное число (осваивается алгоритм, формируются все понятия);

2. умножение и деление на трехзначное число (перенос полученных понятий и умений на более сложный материал).

Анализ выполнения умножения показывает, что основные положения те же, что и при умножении на однозначное число: поразрядность выполнения умножения и использование в каждом разряде таблицы умножения.

Вместе с тем существуют особенности.

Например: 70  4=280 700  4=2800

Находят результат известными способами. Определяют сходство и различие этих равенств и разницу в разрядных единицах. Затем исследуют источник подмеченной закономерности, осознают основной путь выполнения действия - представление множителя не произведением любых чисел, а произведением однозначного числа на единицу с нулями. Отсюда вытекает необходимость знания о закономерности, связанной с умножением любого числа на разрядную единицу.

Выделим основные этапы в изучении умножения на двухзначное число: сочетательный закон умножения; умножение на единицу с нулями на основе использования сочетательного закона умножения; умножение на круглые десятки на основе использования того же закона, распределительный закон умножения относительно сложения; умножение на двузначное число со всеми значащими цифрами. Необходимо установление логических связей между отдельными этапами и между новым материалом и изученным.

Алгоритм умножения на однозначное число - основа овладения алгоритмом умножения на двузначное и трехзначное числа.

Задания для самостоятельной работы.

1. Назовите задачи и порядок изучения темы. Чем обусловлена такая последовательность изучения материала?

2. Раскройте теоретический материал, лежащий в основе введения алгоритма письменного умножения (отразите три этапа работы).

3. Приведите подробные и краткие рассуждения учащихся в следующих приёмах:

425 x 3

425 x 32

3020 x 200

536 x 308

7 дм 05 мм x 80

Определите теоретическую основу каждого приёма. Покажите особенности, на которые необходимо обратить внимание в записи и рассуждениях учащихся.

4. Приведите примеры заданий:

а) на нахождение ошибок в вычислениях;

б) различной степени сложности.

Какова практическая значимость данных заданий?

Алгоритм письменного деления.

Изучение алгоритма письменного деления имеет много общего с изучением алгоритмов умножения. Алгоритм письменного деления многозначных чисел вводиться в порядке их усложнения:

а) деление на однозначное число;

б) деление на разрядное число;

в) деление на неразрядные числа.

Усвоение алгоритма деления зависит от того, как будет построен процесс изучения нового способа действия. В учебниках математики, разработанных М.А. Бантовой, Г.В. Бельтюковой, М.И. Моро отражён подход, предусматривающий 3 этапа в изучении письменного деления: подготовительный, ознакомление, закрепление.

В основе деления лежит знание нумерации целых неотрицательных чисел (разрядный или десятичный состав числа, устные приемы деления на 10, 100,1000), взаимосвязь действия умножения и деления. Также овладение алгоритмом зависит от умения находить остаток при делении. Основа этого умения – осознание взаимосвязи между делимым, делителем, неполным частным и остатком. Также на подготовительном этапе вводятся свойства действия деления: деление суммы на число и деление числа на произведение.

Первым вводятся приемы, когда число единиц высшего разряда делимого не меньше делителя и в записи частного нет нулей.

На подобных примерах учащиеся знакомятся с записью деления “в столбик”, угол обозначает знак деления. Результат деления записывается под горизонтальной стороной угла. Дается алгоритм рассуждений учащихся. Здесь в объяснении появляется новый термин “неполное делимое”.

Учителю надо пояснить, что при делении многозначных чисел для нахождения цифр частного в делимом выделяют соответствующие число единиц каждого разряда, начиная с высшего, которое называют неполным делимым, делят каждое из них на делитель, в результате чего получают число единиц каждого разряда частного.

Способ образования неполных делимых можно ввести несколько иначе, выделив две операции, из которых он состоит: перевода единиц высшего разряда (перевода остатка) в единицы следующего низшего разряда и сложение полученного круглого числа с единицами этого же разряда, имеющимися в полном делимом.

При ознакомлении с алгоритмом письменного деления необходимо выделить этот способ для осознания и запоминания учащимися. Важно при этом подчеркнуть, что следующее неполное делимое составляют единицы разряда непосредственно следующего (низшего) за разрядом предыдущего неполного делимого, что никаких пропусков и повторений разрядов не должно быть. Итак, первая операция в алгоритме деления - это выделение первого неполного делимого.

Следующая операция, которая непосредственно следует из первого- это определение количества цифр в частном.

Эта операция должна выполняться в ходе всего изучения алгоритма в начальной школе. Объяснение определения количества цифр в частном необходимо дать таким образом: “8 сотен- это первое неполное делимое, а сотни в записи числа стоят на третьем месте, значит, в частном будет 3 цифры”... , количество цифр в частном отметить точками.

Приведенные рассуждения конкретизируют важное общее положение: разряд первого неполного делимого является и высшим разрядом частного. Это общее положение необходимо довести и до учащихся. Это может быть сделано в результате обобщения способа определения количества цифр частного для конкретных случаев деления уже на уроке ознакомления с алгоритмом деления.

При выполнении письменного деления, находя цифры частного, как правило, выполняют деление с остатком, причем делится не только число единиц, но и число десятков, сотен и т. д. При этом часто встречаются случаи, когда делимое меньше делителя. Поэтому в плане подготовки важно, чтобы ученики умели выполнять и объяснять прием деления с остатком. Особенно внимательно рассмотреть случай, когда делимое меньше делителя.

Ученики могут вести объяснение таким образом: “ когда делимое меньше делителя, в частном получается нуль, а все делимое будет остатком”. Затем надо больше включать упражнений на эти случаи деления (7:10, 5:9, 3:11 и т.п.).

В этом случае, например, 3 разделить на 11 означает найти два таких целых неотрицательных числа - частное и остаток, чтобы сумма произведения частного на делитель и остатка была равна делимому. Указанному условию для чисел 3 и 11 удовлетворяют частное 0 и остаток 3. Действительно: 0 x 11+3=3, т.е. 3:11=0 (остаток 3), где 3<11.

Причем это частное и остаток легко найти, используя известный прием деления с остатком: 3 не делится нацело на 11. Самое большое число, которое делится нацело на 11 и меньше 3 есть число 0. Разделим 0 на 11, получим частное 0. Из делимого 3 вычтем 0, получим 3. Это остаток. Причём 3 <11. Итак, частное при делении 3 на 11 равно 0, остаток равен 3.

В каждом шаге алгоритма письменного деления выполняется именно деление с остатком, так как при делении всегда требуется найти два числа: частное и остаток. Поэтому и случай, когда неполное делимое меньше делителя, следует рассматривать как деление с остатком.

Далее рассматриваются случаи деления, когда число единиц высшего разряда делимого меньше делителя, а в записи частного нет нулей. Особенность приема для этих случаев состоит в том, что первое неполное делимое - двузначное число, которое образованно единицами двух высших разрядов. Например, случай вида: 825 разделить на 3.

В учебнике дано развернутое объяснение, которое ученики могут разобрать под руководством учителя самостоятельно.

Для закрепления знания алгоритма письменного деления эффективен прием использования памятки, в которой дан план рассуждения при делении:

“Образую первое неполное делимое,

Определю число цифр в частном,

Разделю…

Умножу…

Вычту…

Сравню остаток с делителем…

Образую второе неполное делимое…”

В дальнейшем ученик от подробного объяснения переходит к кратким рассуждениям, прибегая к развернутому при рассмотрении новых случаев деления или разбирая ошибки в решении.

Как и при умножении, после рассмотрения каждого случая деления для закрепления знания приема и выработки вычислительного навыка необходимо включать соответствующие примеры, используя творческие виды заданий.