Экзаменационные билеты по математике

1.Неопределенный интеграл и первообразная. Свойства неопределенного интеграла.

2.Таблица неопределенных интегралов. Ее вывод.

3.Непосредственное интегрирование.

4.Метод подстановки в неопределенном интеграле.

5.Метод внесения под знак дифференциала в неопределенном интеграле.

6. Интегрирование по частям.

7.«Самосводящиеся» интегралы.

8. Интегралы вида ∫dx/(ax²+bx+c), ∫dx/scrt(ax²+bx+c),

9. Интегралы вида ∫(mx+n)dx/(ax²+bx+c), ∫(mx+n)dx/sqrt(ax²+bx+c)

10.Интегралы вида ∫dx/(mx+n)²(ax²+bx+c), ∫dx/(mx+n)sqrt(ax²+bx+c)

11. Интегрирование рациональных дробей.

12.Интегралы вида ∫Sinⁿx*Cos^mx dx

13.Интегралы вида ∫Sinⁿax*Cos^mbx dx

14.Интегралы вида ∫R(Sinx,Cosx) dx

15.Интегрирование иррациональных функций.

16.Интегралы вида ∫R(u,sqrt(u²-t²)) du, ∫R(u,sqrt(u²+t²)) du, ∫R(u,sqrt(t²-u²)) du

17.Интегрирование трансцендентных функций.

18.Общая схема применения неопределенного интеграла. Алгоритм.

19.Диффиренциальные уравнения. Основные понятия.

20.Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема Пикара.

21.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

22.Однородные дифференциальные уравнения.

23.Линейные дифференциальные уравнения.

24.Дифференциальные уравнения Бернулли.

25.Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

26.Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной.

27.ДУ высших порядков. Теоремы существования.

28.ДУ, допускающие понижение порядка.

29.ЛДУ n-ного порядка. Определитель Вронского

30. ЛОДУn-ного порядка с постоянными коэффициентами.

31.ЛНДУ n-ного порядка. Основные понятия. Метод вариации произвольных постоянных.

32.ЛНДУ n-ного порядка с правой частью специального вида.

33.Системы дифференциальных уравнений. Основные понятия. Нормальная система Коши.

34.Механическая интерпретация нормальной системы ДУ.

35.Системы дифференциальных уравнений. Метод подстановки.

36.Системы дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Матричный метод.

1.Неопределенный интеграл и первообразная. Свойства неопределенного интеграла.

Опр1.: Первообразной функции f на промежутке I называется функция F, такая, что F'(x)=f(x) (любой)x є I

Опр2.: Неопределённый интеграл ∫f(x)dx=F(x)+C, где F – первообразная функции f(на промежутке); C – произвольная постоянная.

Основные свойства:

1. (∫f(x)dx)'=f(x), d∫f(x)dx=f(x)dx

2. ∫F’(x)dx=F(x), ∫dF(x)=F(x)+C

3. Если ∫f(x)dx=F(x)+C, ∫f(ax+b)dx=(1/a)F(ax+b)+C, a≠0

4. ∫(αf(x)+β(x))dx=α∫f(x)dx+β∫g(x)dx, α²+β²≠0.

2.Таблица неопределенных интегралов. Ее вывод.

3.Непосредственное интегрирование.

4.Метод подстановки в неопределенном интеграле.

∫f(x)dx=∫f(ψ(t))ψ’(t)dt

x=ψ(t)

dx=ψ’(t)dt

5.Метод внесения под знак дифференциала в неопределенном интеграле.

Th1.: Пусть j:T®X и x =j(t) – непрерывно дифференцируема на T, X ® Y и y = f(x) непрерывна на X.

Тогда функции f(x) и f(j(t)) × j ¢(t) интегрируемы на X и T соответственно, причем, если ∫f(x)dx=F(x)+c, то ∫f(φ(t))*φ’(t)dt=F(φ(t))+C

6. Интегрирование по частям.

U=U(x) V=V(x)

(UV)’=V’U+U”V

∫(UV)’dx=∫(V’U+U’V)dx

UV=∫U’Vdx+∫UV’dx => ∫UV’dx=UV-∫U’Vdx

∫UdV=UV-∫VdU

7.«Самосводящиеся» интегралы.

8. Интегралы вида ∫dx/(ax²+bx+c), ∫dx/scrt(ax²+bx+c)

В ax²+bx+c выделяем полный квадрат, то есть должно получится следующее

∫dx/((x+d)²+e-e)

9. Интегралы вида ∫(mx+n)dx/(ax²+bx+c), ∫(mx+n)dx/sqrt(ax²+bx+c)

Алгоритм:

1. (ax²+bx+c)’=(2ax+b)

2. mx+n=α(2ax+b)+β

3. ∫(mx+n)dx/(ax²+bx+c)= ∫(α(2ax+b)+β)dx/(ax²+bx+c)= ∫(2αx+β)dx/(ax²+bx+c)+ β∫dx/(ax²+bx+c)= ∫ d(ax²+bx+c)/(ax²+bx+c)+ β∫dx/(ax²+bx+c)

10.Интегралы вида ∫dx/(mx+n)²(ax²+bx+c), ∫dx/(mx+n)sqrt(ax²+bx+c)