- •Глава 14. Двойной интеграл
- •§14.1 Предварительные замечания.
- •§14.2 Задача, приводящая к понятию двойного интеграла.
- •2. Построим на простых кривых разбиения области d цилиндроиды, тогда
- •5. Это равенство тем точнее, чем больше площадок деления области d, и чем меньше диаметр этих площадок.
- •§14.3 Определение двойного интеграла.
- •Разобьём область сетью простых кривых на n областей
- •§14.4 Свойства двойного интеграла (аналогично свойствам определенного интеграла)
- •§14.5 Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.
- •§14.6 Двойной интеграл в полярных координатах.
- •§14.7 Сведение двойного интеграла в полярных координатах к повторному.
- •1. Пусть полюс точки o не принадлежит области d.
- •2. Полюс принадлежит области d.
- •§14.8 Приложение двойного интеграла к решению геометрических и физических задач.
Глава 14. Двойной интеграл
§14.1 Предварительные замечания.
Def: Кривая называется простой, если её можно разбить на конечное число частей так, чтобы каждая из частей была записана уравнением, либо , либо .
Т еорема: Если замкнутая область D на плоскости XOY ограничена простой кривой, то она имеет площадь.
Разобьём область D сетью простых линий на n – частей. Каждая часть Dk будет иметь площадь (т.к. по теореме она ограничена простой кривой).
Def: Диаметр области Dk – наибольшее расстояние между двумя точками, принадлежащими области Dk (обозначим dk).
§14.2 Задача, приводящая к понятию двойного интеграла.
Пусть функция - функция двух переменных, , где - это некоторая замкнутая область D, ограниченная простой кривой Г.
Def: Тело, ограниченное плоскостью XOY, поверхностью и с боков цилиндрической поверхностью, образующая которой // оси OZ, а направляющей служит контур Г, ограничивающий область D, называется цилиндроидом.
Для вычисления объёма данного цилиндроида выполним следующие операции:
1. Обозначим площади областей Dk, через @ Диаметры областей Dk, через -@
2. Построим на простых кривых разбиения области d цилиндроиды, тогда
@ , где Vk – объём цилиндроида с основанием Dk.
3. Для нахождения Vk выберем в области Dk произвольную точку , тогда, @ т.к. верхняя граница цилиндроида – поверхность произвольной формы, заменена участком плоскости параллельным xOy
@
4.
5. Это равенство тем точнее, чем больше площадок деления области d, и чем меньше диаметр этих площадок.
@
К отысканию предела подобных сумм для функций двух переменных приводят самые разнообразные задачи, а не только задача об объёме цилиндрического тела.
§14.3 Определение двойного интеграла.
Пусть в области D, ограниченной контуром Г, задана функция . Проделаем пять операций:
Разобьём область сетью простых кривых на n областей
@
Обозначим площади этих областей @ диаметры @ причём @
Выберем в каждой площадке точку , вычислим значения функции в выбранных точках и составим произведения: @
Просуммируем эти произведения: @
- интегральная сумма Римана.
П ри увеличении числа площадок деления, при условии, что , получаем предел интегральных сумм Римана. Если этот предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения области D и выбора точек , то он определяет двойной интеграл функции по области D и обозначается: @
Замечание: Если двойной интеграл по области , то функция называется интегрируемой в области D.
Теорема: Если функция непрерывна в области , имеющей площадь, то она интегрируема в этой области.