Экзаменационные вопросы

1. Определение уравнения второго порядка, его решения, геометрический смысл решения. Общее решение. Задача Коши, геометрический смысл. Показать, что функция является решением уравнения .

Определение. Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида: .

В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно :

(1)

Определение. Решением уравнения называется функция , , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

График решения называется интегральной кривой. Общее решение представляет собой множество интегральных кривых.

Теорема Коши. Если функция и ее частные производные и определены и непрерывны в некоторой области G пространства переменных , то какова бы ни была внутренняя точка , области G, в некоторой окрестности точки х₀ существует единственное решение уравнения , удовлетворяющее условиям

при . (2)

Геометрически это означает, что через заданную точку плоскости проходит единствен

ная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом касательной в этой точке.

Условия (2) называют начальными условиями решения и часто записывают в виде

(3)

Как и для уравнения первого порядка, задачу отыскания решения по заданным начальным условиям называют задачей Коши.

Определение. Функция , зависящая от х и двух произвольных постоянных С₁ и С₂ называется общим решением уравнения (1) в некоторой области G, если она является решением уравнения (1) при любых значениях постоянных С₁, и С₂ и если при любых начальных условиях (3) существуют единственные значения постоянных такие, что функция удовлетворяет данным начальным условиям.

Определение. Любая функция , получающаяся из общего решения уравнения (1) при определенных значениях постоянных , называется частным решением.

Геометрически общее решение представляет собой семейство парабол, причем, так как оно зависит от двух произвольных постоянных, то через каждую точку плоскости проходит бесконечное множество парабол, имеющих различные касательные в этой точке. Поэтому для выделения одной параболы из полученного семейства кроме точки , через которую проходит парабола, нужно задать еще угловой коэффициент касательной к параболе в этой точке.

Если функция является решением уравнения, то при подстановке в уравнение должно выполнятся тождество. Находим , тогда . Тождество выполняется.

2. Теоремы о структурах решений линейного однородного и неоднородного уравнений второго порядка. Являются ли функции и общими решениями однородных уравнений?

Определение. Функции и называются линейно независимыми на интервале (a, b), если равенство

, (1)

где выполняется тогда и только тогда, когда . Если хотя бы одно из чисел или отлично от нуля и выполняется равенство (1), то функции и называются линейно зависимыми на (a, b). Это означает, что для , , откуда , т.о. условие является условием линейной независимости решений и .

Теорема. (о структуре общего решения ЛОДУ) Если функции и линейно независимые решения ЛОДУ

, (2)

то функция (3) является общим решением уравнения (2).

Доказательство. Подставим функцию (3) и ее производные в (2).

Так как функции и решения уравнения (2), то выражения в скобках тождественно равны нулю. Это означает, что функция является решением уравнения (2).

Для того чтобы доказать, что эта функция - общее решение уравнения, достаточно установить, что из него можно выделить частное решение, удовлетворяющее любым заданным начальным условиям.

Пусть и (4)

- произвольные начальные условия. Покажем, что постоянные и можно подобрать так, что решение (3) при этих значениях постоянных является частным решением, удовлетворяющим заданным начальным условиям (4).

Составим систему уравнений

( (5)

в которой и - неизвестные числа. Так как по условию функции и -линейно независимы, то , выполняется тогда и только тогда, когда . Поэтому система (5) имеет единственное решение, которое обозначим . Подставляя и в равенство (2), получаем искомое частное решение уравнения: , удовлетворяющее условиям (4). Это и означает, что решение (3) является общим решением уравнения (2).

Теорема. (о структуре общего решения ЛНДУ) Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (6) есть сумма любого его решения у* и общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения, т.е. .(7)

Доказательство. Имеем и . Подставим функцию (7) и ее производные в ЛНДУ.

Тождество выполняется, функция является решением ЛНДУ. Покажем теперь, что функция (7) - общее решение уравнения. Для этого возьмем любое решение у уравнения и рассмотрим разность . Эта разность является решением однородного уравнения (2). Действительно, Это означает, что разность может быть записана в виде , откуда , где и - определенные значения постоянных и . Любое решение у уравнения (6) получается из формулы (7) при соответствующем подборе произвольных постоянных и , т. е. функция (7) является общим решением уравнения (6).

Являются ли функции и общими решениями однородных уравнений?

Проверим линейную зависимость или независимость функций . . Функции линейно зависимы, не является общим решением.

. Функции линейно независимы, является общим решением.