16. Методика вивчення паралельності прямих і площин.

Приступаючи до вивчення теми, доцільно виділити для учнів 4 блоки в змісті навч. матеріалу.

1. Паралельність прямих у просторі; мимобіжні прямі.

2. Паралельність прямої і площини.

3. Паралельність площин у просторі.

4. Паралельне проектування як спосіб зображення просторо­вих фігур на площині.

1. Вивчення І блоку навч. матеріалу природно почати з розгляду можливих положень двох прямих а і b на пло­щині і в просторі. Учні пригадують, що в планіметрії, тобто на площині, можливі лише 2 положення прямих а і b : 1) прямі а і b перетинаються; 2) прямі а і b паралельні.

Варто пригадати означення паралельних прямих у планіметрії і зазначити, що воно містить лише одну суттєву властивість - «не перетинаються». Далі, використовуючи модель куба або прямокутного паралелепіпеда, з'ясовують мож­ливі положення двох прямих а і b у просторі. Учні самі доходять висновку, що таких можливих положень 3: 1) прямі а і b пере­тинаються; 2) прямі а і b лежать в одній площині і не перетинаються; 3) прямі а і b не лежать в одній площині і не перетина­ються.

Як і в планіметрії, дві прямі в просторі вважаються такими, що перетинаються, якщо вони мають лише одну спільну точку. Після цього вводяться означення паралельних і мимобіжних пря­мих у просторі. Важливо наголосити, що означення двох парале­льних прямих у просторі включає дві суттєві властивості: 1) лежати в одній площині; 2) не перетинатися. Кожна з цих властивостей необхідна і лише обидві разом достатні для того, щоб дві прямі в просторі вважались паралель­ними.

Учні повинні добре усвідомлювати означення й ознаку паралельних прямих, розуміти різницю між цими двома твердження­ми, доводити ознаку (теорема 2.2: 2 прямі, паралельні третій, паралельні між собою). Дехто з учнів не бачить відмінностей між ознаками паралельних прямих на площині і в просторі. Тому варто наголосити, що хоч у формулюванні ці теореми збігаються, але, по суті, в теоремі 2.2 йдеться про 3 прямі, які не обов'язково лежать в одній площині.

Доведення ознаки паралельності прямих у просторі досить громіздке. Тому важливо із самого початку доведення зробити цільову установку: якщо кожна з прямих b і с паралельна прямій а і треба довести, що b , то для доведення слід скористатися означенням паралельних прямих у просторі, оскільки жодна ознака ще не відома. Отже, треба довести 2 факти: 1) прямі b і с лежать в одній площині; 2) прямі b і с не перетинаються. Далі міркування за підручником спрямовані на досягнення цієї мети.

2. Вивчення ІІ змістового блоку теми «Паралельність пря­мої і площини» не викликає в учнів особливих труднощів. Пояс­нення нового матеріалу доцільно почати із з'ясування (на основі моделей прямої і площини) можливих випадків взаємного розмі­щення прямої і площини у просторі. Учні колективно доходять висновку, що пряма а може лежати в площині і не лежати в ній. У другому випадку теж можливі 2 варіанти: 1) пряма а і пло­щина не перетинаються;

2) пряма а і площина перетинаються в одній точці.

Після цього природно вводиться означення паралельних пря­мої і площини. Варто звернути увагу учнів на те, що означення аналогічне означенню паралельних прямих у планіметрії. Це сприятиме збереженню в пам'яті нового означення.

При доведенні ознаки паралельності прямої і площини (т 2.3: Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині) до­цільно відразу ж сформулювати мету доведення - треба довести, що пряма а, яка не належить площині і прямій а₁ цієї площини, не може перетнути площину . Після виконання додатко­вої побудови (проведення площини через паралельні прямі а і а₁) учні далі спроможні самостійно провести міркування методом від супротивного, виконавши 3 кроки. 1. Припустимо, що а пере­тинає . 2. Тоді точка перетину мала б належати прямій а₁. Проте це суперечить умові теореми, бо а а₁. 3.Припущення непра­вильне, а справедливе те, що пряма не перетинає площину , тоб­то, за означенням, паралельна площині .

3. Паралельність площин вивчається за тією самою методичною схемою: спочатку формулюється означення паралельних площин після розгляду на моделях можливих положень двох площин у просторі. Учні без особливих труднощів з'ясовують 2 можливі положення і за аналогією з попередніми означеннями паралельності прямої і площини самі формулюють означення паралельних площин.

Далі виникає потреба сформулювати теорему, яка стверджує ознаку паралельності двох площин. Практика свідчить про те, що учні намагаються сформулювати цю ознаку за аналогією з ознакою паралельності прямих у планіметрії. Така спроба розглянути ситуацію перетину двох площин третьою при­водить до необхідності розглядати двогранні кути між площина­ми. Однак такі кути не розглядались. Учитель сам повинен сфор­мулювати ознаку паралельності двох площин і звернути увагу учнів на те, що, виходячи з умов теореми, треба довести, що дані площини не можуть перетнутися, тобто підвести їх під означення паралельних площин. Учні самі виберуть метод доведення від супротивного і зроблять перший крок припущення, що площини перетинаються. Проте відповідний рисунок учням зробити важко. Потрібна допомога вчителя. Дальші міркування учні можуть знайти колективно.

Твердження про існування площини, паралельної даній пло­щині (теорема 2.5), дуже нагадує учням аксіому паралельних прямих у планіметрії. Доведення цієї теореми доцільно дати уч­ням лише в плані ознайомлення і не вимагати від усіх уміння від­творювати це доведення. Разом з тим твердження про властивість паралельних площин, перетнутих третьою площиною (якщо 2 паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні), і задача 33, з якої випливає твердження про рівність відрізків паралельних прямих, які містяться між двома паралельними площинами, хоч і не виділені в підручнику (Погорелова) як теореми, заслугову­ють уважного вивчення. Цими твердженнями доводеться користуватися, розв'язуючи задачі.