19. Математичні поняття. Методика формування математичних понять.

Кожна наука оперує своїми поняттями. У математиці (як у науці, так і в навчальному предметі) розглядають різні об'єкти: числа, фігури, формули, рівняння, конус, інтеграл, натуральне число і т.д. Все це математичні поняття. Скільки їх? Кілька тисяч, найважливіші перераховані в математичній енциклопедії, в ШКМ - кілька сотень.

За допомогою понять ми висловлюємо загальні, суттєві ознаки предметів і явищ, процесів і відносин об'єктивної дійсності.

У математичних поняттях відображаються в основному кількісні відносини і просторові форми матеріального світу.

Кожне поняття характеризується обсягом і змістом.

Обсяг поняття - це безліч об'єктів, на які поширюється дане поняття.

Зміст поняття - це сукупність основних ознак об'єктів (предметів або явищ), що охоплюються цим поняттям. Наприклад, поняття «число». Обсяг - безліч всіх парних чисел. Змістом є ознака «число, що ділиться на 2». Поняття «рівняння». Зміст - рівність, що містить одну або кілька змінних.

Зміст поняття розкривається за допомогою визначення, обсяг - за допомогою класифікації. За допомогою визначення і класифікації окремі поняття організуються в систему взаємопов'язаних понять.

В ШКМ вміння вказати обсяг поняття виявляється за допомогою завдань такого типу: наведіть приклади різних трикутників (паралелограмів, десяткових дробів і т.д.), а вміння вказати зміст перевіряється за допомогою завдань такого типу: 1.Що називається трикутником (кругом, раціональним числом, конусом). 2.Сформулюйте визначення кіл (кулі, дійсного числа, рівняння і т.д.). Між обсягом і змістом має місце Закон зворотного відносини: чим ширше зміст поняття, тим вже його об'єм і, навпаки. Наприклад, поняття «трикутник». Додамо до двох його ознаками: 1) плоский багатокутник, 2) наявність трьох сторін (зміст поняття). Ще третій - 3) дві сторони рівні. Отримали нове поняття «рівнобедрений трикутник». Зміст ширше, а обсяг, вже: безліч рівнобедрених трикутників є підмножиною множини трикутників взагалі.

Формування понять - складний психологічний процес, звичайно (але не завжди) протікає по такій схемі: відчуття - сприйняття - уявлення - поняття.

Розглянемо процес формування понять на прикладі поняття «куб». Куб - математичний об'єкт, тому немає відчуттів («м'яч» - відчуваємо пружність, вага розмір).

Ми бачимо на столі дерев'яну модель куба - у нас є сприйняття куба. Прибрали куб - сприйняття скінчилося, але не зникає з нашої пам'яті безслідно. В даний момент ми можемо не бачити цього куба, але ми можемо його собі уявити лежачим на столі, тому що його образ зберігся в нашій свідомості. Це і є уявлення. Але ми бачив багато різних кубів різного розміру, різного забарвлення, виготовлених з різних матеріалів і т.д. Ми можемо відвернутися від індивідуальних ознак окремих моделей куба і виділити тільки ті ознаки, які є загальними й істотними для будь-якого куба (наприклад, форма). Тоді у нас створюється поняття куба взагалі. Висновок (сутність поняття):

Поняття абстрагується від індивідуальних рис і ознак окремих сприйнять і уявлень і є, таким чином, результатом узагальнення сприйнять і уявлень дуже великої кількості однорідних предметів і явищ.

Заключним етапом формування поняття, як правило, є його визначення:

Перерахування необхідних і достатніх ознак поняття, зведених у зв'язне пропозицію (мовне або символічне), є визначення поняття (математичного об'єкта). В ШКМ визначення розглядають як таке математичне пропозицію, яка зводить дане поняття математики до вже знайомим математичним поняттям. За Погорєлову: «Дати визначення чого-небудь - значить пояснити, що це таке». Необхідно, щоб учні розуміли, що ніякі визначення не доводяться. Про визначення не має сенсу говорити, істинно воно або помилково. Визначення може бути правильним (коректним) або неправильним (некоректним) залежно від того, задовольняє вона чи ні певним вимогам (відсутність порочного кола і відсутність омонімії).

У математиці і в навчанні математики застосовуються різні способи визначень.

І. «Через найближчий ряд і видову відмінність». Наприклад, визначається поняття «просте число» - натуральне число, більше 1 (рід) + має тільки два дільника (видову відмінність), «квадратне рівняння» - рівняння (рід) + виду «ромб» - паралелограм (рід) + боку якого рівні (видову відмінність). Такі визначення є явними визначеннями, в яких чітко (явно) виділені визначаються і визначають поняття.Вони дозволяють замінити при необхідності, наприклад, при доказі теорем, одне поняття іншим.

ІІ. Генетично (спосіб, який вказує на походження поняття). Наприклад, Визначення кола, кола, сфери, кулі,, лінійного кута, двогранного кута, конуса, циліндра як тіл обертання - генетичні. Однак не всі математичні поняття визначаються таким чином. Процес відомості одного поняття до інших не може бути нескінченним. Тому є початкові поняття, які явно не визначаються через інші поняття, їх властивості виражаються в аксіомах, це неявні аксіоматичні визначення понять, наприклад, точка, пряма, площина, натуральне число, міра та ін