1.3. Скорость и ускорение колеблющейся материальной точки

Скорость колеблющейся материальной точки определяется как первая производная от смещения по времени:

Следовательно, скорость опережает по фазе смещение на π/2.

Зависимость скорости υ колеблющейся материальной точки от времени t представлена на рисунке 2.

Ускорение колеблющейся материальной точки находится как первая производная от ее скорости по времени:

,

то есть ускорение опережает скорость по фазе на π/2, а смещение – на π.

Зависимость ускорения а от времени t представлена на рисунке 3.

Рисунок 2

Рисунок 3

1.4. Кинетическая, потенциальная и полная механическая энергия колеблющейся материальной точки

При отсутствии потерь энергии в окружающую среду кинетическая энергия Е_к, потенциальная энергия Е_п и полная механическая энергия Е свободных механических колебаний материальной точки массой m определяются, соответственно, по формулам:

;

;

При этом полная механическая энергия сохраняется.

1.5. Гармонические осцилляторы

Тело (или система), совершающее гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором.

К гармоническим осциллятором можно отнести, прежде всего, пружинный, математический и физический маятники.

1.5.1. Пружинный маятник

Под пружинным маятником мы будем понимать небольшой груз массой m, способный совершать колебания на легкой (невесомой) пружине жесткостью k (рисунок 4).

Будем полагать, что маятник совершает малые колебания, при которых отклонения х груза от положения равновесия (точки О на рисунке 4) являются небольшими.

Период малых колебаний пружинного маятника при условии, что сила упругости, действующая на груз, подчиняется закону Гука:

Рисунок 4

Отметим, что точно также можно рассчитать период колебаний небольшого груза массой m под действием силы упругости легкой (невесомой) пружины жесткостью k вдоль гладкого горизонтального стержня. Такая система также может рассматриваться как пружинный маятник.

1.5.2. Математический маятник

Под математическим маятником понимается материальная точка, совершающая колебания на невесомой нерастяжимой нити длиной в поле силы тяжести (рисунок 5).

В случае малых колебаний, при которых угол между нитью и вертикалью не превышает 4 градусов, период колебаний математического маятника

,

где g- ускорение свободного падения.

Рисунок 5

1.5.3. Физический маятник

Ось вращения маятника проходит через точку О перпендикулярно плоскости рисунка 6. Точка О называется центром качаний.

В точке С на рисунке 6 находится центр масс маятника.

Колебания физического маятника считаются малыми, если отрезок ОС (рисунок 6) поворачивается на угол φ, не превышающий 4°.

Период колебаний физического маятника, совершающего малые колебания при отсутствии потерь энергии в окружающую среду:

Под физическим маятником понимается твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной оси в поле силы тяжести (рисунок 6).

Рисунок 6

,

где J - момент инерции, m- масса маятника, g- ускорение свободного падения, - расстояние между центром качаний и центром масс маятника.

Момент инерции J маятника определяется по теореме Штейнера, так как ось вращения маятника не проходит через центр масс:

,

где J_C – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс параллельно оси вращения маятника.