МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Національний університет «Львівська політехніка»

Диференціальні рівняння з частинними похідними.

Метод сіток

ЗАВДАННЯ ТА МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

до лабораторної роботи № 11 з курсу

«Чисельні методи»

для базового напрямку «Прикладна фізика»

Затверджено

на засіданні кафедри

обчислювальної математики та програмування

Протокол № від

ЛЬВІВ – 2011

Теоретичні відомості

Диференціальне рівняння в частинних похідних другого порядку з двома незалежними змінними в загальному випадку має вигляд

де – незалежні змінні, – шукана функція, – частинні похідні.

Рівняння першого степеня щодо шуканої функції і всіх її похідних, яке не містить їх добутків, називають лінійним. Таке рівняння можна записати у вигляді

де коефіцієнти можуть залежати лише від х та у.

Якщо коефіцієнти не залежать від х та у, то таке рівняння називають лінійним диференціальним рівнянням з постійними коефіцієнтами.

Для повного опису фізичного процесу потрібно крім самого рівняння з частинними похід­ними задати початковий стан процесу (початкові умови) і режим на границі області (граничні умови). Початкові та граничні умови дають змогу визначити єдиний розв’язок диферен­ціального рівняння.

Розрізняють три типи лінійних диференціальних рівнянь:

• еліптичного типу ( );

• параболічного типу ( );

• гіперболічного типу ( ).

Відшукання розв’язку лінійного диференціального рівняння в частинних похідних методом сіток можна поділити на декілька етапів:

• дискретизація області (побудова сітки);

• дискретизація рівняння (заміна частинних похідних їх скінченними різницями);

• дискретизація граничних і початкових умов;

• визначення значення функції у вузлах сітки.

Побудова сітки

Розглянемо один із простіших способів побудови сітки.

Нехай на площині є деяка область  з границею Г. Побудуємо на площині дві сім’ї паралельних прямих

точки перетину цих прямих називають вузлами сітки.

Д ва вузли називають сусідніми, якщо вони віддалені один від одного на відстань кроку у відповідному напрямку. Сукупність сусідніх з вузлом вузлів

утворюють п’ятиточкову зірку з центром в точці

Вузол називають внутрішнім вузлом, якщо всі вузли його зірки лежать в області  + Г.

Вузол називають граничним вузлом, якщо хоча б один із вузлів зірки не належить області  + Г.

Значення шуканої функції у вузлах сітки позначатимемо .

Дискретизація рівняння

В кожному внутрішньому вузлі замінимо частинні похідні скінченними різницями, тобто

В граничних точках слід використовувати формули

Задача Діріхле

Нехай задано рівняння Пуассона

,

яке на межі області задовольняє граничні умови

Таку крайову задачу називають задачею Діріхле.

Побудувавши сітку Нехай Замінивши частинні похідні скін­чен­ними різницями, отримаємо рівняння

Підставляючи в це рівняння конкретні значення i, j отримаємо систему лінійних алгебраїч­них рівнянь, яку розв’язуємо одним із відомих методів.

Якщо , то таке рівняння називають рівнянням Лапласа.

Приклад 1. Розв’язати граничну задачу

,

Р озв’язування. Маємо Нехай Проведемо дискретизацію області та порахуємо значення функції в граничних вузлах. З граничної умови отримаємо

, , , , ;

з граничної умови будемо мати

, ,

, , ;

з граничної умови будемо мати

, , , , ;

з останньої граничної умови :

, , , , .

Значення у внутрішніх вузлах визначимо за формулою

Отже,

Складемо систему з дев’яти рівнянь. Отримаємо

,

Розв’язавши систему, отримаємо

, , ,

, , ,

, , .

Отже, розв’язком даної задачі буде (значення функції у вузлах сітки)

Задача теплопровідності

Розглянемо рівняння параболічного типу

яке задовольняє початкову умову

та граничні умови

,

, де

Класичним прикладом такої задачі є задача теплопровідності або дифузії.

Зауваження. Якщо зробити заміну то отримаємо рівняння

яке і розглядатимемо далі.

Побудуємо сітку та дискретизуємо початкову та граничні умови. Отримаємо

, , .

Я кщо для дискретизації рівняння скористатись правими різницями, то отримаємо скінченно-різницеве рівняння

Тоді

Побудовану схему називають явною скінчено-різницевою схемою.

Зауваження. Для того, щоб явна скінченно-різницева схема була стійка та збігалась до розв’язку необхідно, щоб для вибраних кроків виконувались нерівності

Я кщо для дискретизації рівняння скористатись лівими різницями, то отримаємо скінченно-різницеве рівняння

Тоді

Таку схему називають неявною скінчено-різницевою схемою.

Якщо вибрати кроки так, щоб , то у випадку явної схеми будемо мати

а у випадку неявної –

Якщо для явної схеми вибрати , то отримаємо

Приклад 2. Розв’язати рівняння методом сіток

,

Розв’язання. Виберемо крок по осі х і нехай

Отже,

Тоді скінченно-різницеве рівняння буде мати вигляд

Порахуємо значення функції в граничних вузлах.

З початкової умови будемо мати

З граничної умови отримаємо

, , , , ;

a з граничної умови будемо мати

, ,

Обчислимо внутрішні значення

Результати обчислень значення функції занесемо в таблицю:

	i	0	1	2	3	4
j	xi tj	0,0	0,5	1,0	1,5	2,0
0	0,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000
1	0,125	1,125	1,000	1,000	1,000	1,125
2	0,250	1,250		1,000		1,250
3	0,375	1,375	1,125	1,063	1,125	1,375
4	0,500	1,500	1,219	1,125	1,219	1,500

Розв’язана гранична задача описує розподіл температури в однорідному стержні довжиною 2, а отримані результати - характер охолодження стержня з бігом часу.