Исследование асимптотического идентификатора (автор: доц., к.т.н. Соседка Вилий Лукич)

Лабораторная работа № 1_07 Исследование асимптотического идентификатора

1. Цель работы:

Целью работы является:

- определение стpуктуpы и паpаметpов идентификатоpа, позволяющего опpеделять не измеpяемые кооpдинаты объекта pегулиpования.

2. Общие положения по синтезу идентификаторов состояния

Hа пpактике, в большинстве случаев, известны только часть фазовых кооpдинат системы pегулиpования. Остальные кооpдинаты либо в пpинципе невозможно измеpить, либо отсутствуют датчики для их измеpения. Таким обpазом, для того чтобы воспользоваться pезультатами, связанными с неогpаниченными возможностями обpатных связей по состоянию, необходимо как-то восстановить не измеряемые координаты.

Восстановление вектора состояния называется его оценкой, а устройство, обеспечивающее получение оценки по вектору управления и вектору выхода ,- называют идентификатором наблюдателя.

Пусть стационарная система описывается системой уравнений

(1)

Предположим, что матрицы , и известны. Тогда оценку вектора состояния можно осуществить по изменяемым фазовым координатам модели

, (2)

где, - фазовые координаты модели.

Качество восстановления фазовых координат улучшается, если в модель ввести разность измеренного выхода системы и модели ( ) в виде обратной связи (рис.1).

, (3)

где, - некоторая матрица, обеспечивающая требуемый вид переходных процессов фазовых координат наблюдателя.

Рис.1. Обобщенная структурная схема системы с идентификатором

Введем ошибку восстановления

. (4)

Вычитая (3) из уравнения (1), получаем

(5)

Очевидно, для того чтобы ошибка восстановления стремилась к нулю, необходимо выбрать матрицу так, чтобы система (5) была асимтотически устойчива.

Из (5) получим характеристическое уравнение наблюдателя:

. (6)

Один из методов синтеза наблюдателя состоит в том, чтобы его быстродействие в 2-4 раза превышало быстродействие замкнутой системы. Это достигается путем задания корней характеристического уравнения наблюдателя (7), которые должны располагаться левее корней характеристического уравнения системы.

. (7)

Тогда матрица должна удовлетворять уравнению

. (8)

Раскрыв определитель, получим характеристическое уравнение наблюдателя. Приравнивая левые и правые части полиномов характеристических уравнений (8) при одинаковых степенях , получим соотношение для определения составляющих матрицы .

Целесообразно указать, что определение матрицы связано с задачей размещения полюсов. Поэтому, для синтеза наблюдателя состояния может быть использована формула Аккермана. В итоге получим следующий результат:

(9)

Выражение (9) позволяет вычислить матрицу по заданному характеристическому полиному наблюдателя и известным матрицам  и  .

Из (5) видно, что модель восстанавливает все составляющие вектора состояния, поэтому она называется идентификатором (наблюдателем) полного порядка.

Общая схема системы управления с наблюдателем состояния полного порядка представлена на рис.2.

Рис.2. Схема системы управления с наблюдателем полного порядка

Используя уравнения объекта (1), регулятора состояния

(10)

и уравнения наблюдателя полного порядка (3), по структурной схеме рис.2 составим матричное уравнение всей системы

, (11)

где, - матрица замкнутой системы; - расширенный вектор состояния.

Уравнение (11) можно записать относительно вектора ошибки , введя линейное преобразование

. (12)

Применив преобразования подобия к матрице , получим новую матрицу , имеющую диагональный вид

.

Очевидно, что характеристическое уравнение всей системы определяется произведением характеристических уравнений соответственно объекта регулирования и наблюдателя.

. (13)

Это замечательное свойство, так как введение в систему наблюдателя не смещает корни системы с обратной связью, заданные по условиям синтеза. Поскольку быстродействие наблюдателя выбирается большим, чем быстродействие системы с полной обратной связью по состоянию, то переходной процесс в системе будет определяться полюсами системы с обратной связью по состоянию.

При определении ошибки (4) автоматически считается, что модель системы и идентификатора построены в одном базисе, т.е. координаты объекта и модели совпадают. При практической реализации это условие может и не выполняться. Например, модель системы построена в базисе УКП, а модель идентификатора построена в базисе ИКП. Поэтому в процессе расчетов необходимо контролировать применяемые базисы, а в случае необходимости преобразовывать базисы, чтобы выполнялось условие (4).

Определение параметров и построение моделей идентификатора и использованием разных базисов рассмотрены на конкретных примерах.

Пример.

Определить параметры идентификатора системы, заданной уравнением

. (14)

Перейдем к матричной форме записи уравнения (14)

. (15)

Матрицы , и заданы в фоpме УКП. Пеpеход к фоpме ИКП заключается в следующем: матpица тpанспониpуется, а матpица получается путем тpанспониpования матpицы , а матpица получается путем тpанспониpования матpицы

. (16)

где, , , - матрицы системы, представленные в форме ИКП.

Пpедположим, что заданы коpни ; , a, следовательно задан и хаpактеpистический многочлен , опpеделяющий динамику наблюдателя.

Используя выражение (5) получим соотношение для определения составляющих матрицы . Причем, ещё раз подчеркнём, что все матрицы в уравнении (5) должны быть заданы в одном базисе, например ИКП. Для этого следует воспользоваться соотношением (16), а от характеристического многочлена перейти к его матричному представлению

,

(17)

Решая матричное уравнение, получаем матрицу-столбец в формате ИКП

. (18)

Определить матрицу можно в пакете MatLab, используя формулу Аккермана (Программа 1)

% Пограмма 1 (a_cst02.m)

%Определение матрицы наблюдателя с помощью формулы Аккермана

A=[0,1;0,0];B=[0;1];C=[1,0];D=0; %Исходные данные

PN=[-3,-1]; %Расположение корней наблюдателя

B=C'; A=A'; %Задание исходных данных в форме ИКП.

KNT=acker(A,B,PN) %Определение матрицы наблюдателя

%в форме ИКП.

G=KNT' %Преобразование базиса.

При этом получим матрицу-столбец в формате УКП

. (19)

Матрица перехода от одного (старого) базиса ( ) к новому базису ( ) определяется выражением

. (20)

Подставляя исходные данные в (20), получаем

. (21)

Таким образом, уравнение идентификатора можно построить в двух базисах. Используя выражение (3) подставим исходные данные в форме ИКП и получим

. (22)

Подставляя в выражение (3) исходные данные в форме УКП получим новую систему уравнений

. (23)

По уравнениям (22) и (23) в пакете Simulink представлены структурные схемы идентификаторов.

Рис.3. Структурная схема идентификаторов (А - объект задан в форме УКП, а идентификатор в форме ИКП, В - объект и идентификатор заданы в форме УКП) (mod_lr_07.mdl)

Так как структурная схема рис.3.А составлена в соответствии с выражением (22), то базисы системы и идентификатора разные и координата идентификатора соответствует координате системы , а координата идентификатора соответствует координате системы .

Структурная схема рис.3.В соответствует выражению (23), и модели системы и идентификатора построены в одном базисе. Поэтому соответствующие координаты системы и идентификатора совпадают, т.е. , .

Опpеделить составляющие матpицы можно и чеpез хаpактеpистические уpавнения. В этом случае исходные данные уравнения (5) могут быть записаны в любом базисе, и вне зависимости от принятого базиса получаем одно и то же характеристическое уравнение. Однако интерпретация результатов расчета все равно требует учета базиса.

Определим хаpактеpистическое уравнение идентификатора, записав матрицы в форме УКП

Приравнивая члены при одинаковых степенях полученного хаpактеpистического уравнения и уравнения, определяющего динамику идентификатора

,

имеем,

;     . (24)

Решим ту же задачу, записав матрицы в форме ИКП

;     . (25)

Составление выражений (24) и (25) показывает, что метод определения составляющих матриц через характеристические уравнения, требует дополнительной информации, которая будет использоваться при составлении уравнения, определяющего динамику идентификатора.

Действительно, если не учитывать базисы, в которых представлены матрицы , и , то не ясно как распорядится компонентами матрицы в уравнении. Поэтому целесообразно определять параметры идентификатора с использованием выражения (17) или с помощью формулы Аккермана. В этом случае в процессе решения контролируются применения базисов, что уменьшает вероятность появления ошибки.