Тема 5. Многокритериальные задачи принятия решений.

План

5.1. Общая постановка многокритериальной детерминированной статистической ЗПР. 1

5.2. Классификация многокритериальных ЗПР 3

5.3. Проблемы, связанные с решением многокритериальных ЗПР. 6

5.1. Общая постановка многокритериальной детерминированной статистической зпр.

Пусть имеет место некоторая операция, исход которой зависит от действия ЛПР и некоторых неслучайных фиксированных факторов, полностью известных оперирующей стороне и характеризующих условия протекания операций и свойства участвующих в ней объектов. Стратегию оперирующей стороны обозначим символом X. В частных случаях задачи X может быть скаляром, вектором, матрицей или еще более сложным образованием. Для определенности будем считать, что стратегия оперирующей стороны представляет собой n-мерный вектор, то есть X = (x₁, x₂, … , x_n) = (x_j), j Є 1,n.

Компоненты x_j вектора управления X связаны рядом ограничений, обусловленных конкртеным физическим и экономическим существом задачи. Эти ограничения можно представить в общем виде как условия

g_i = g_i (C_i, X) ≥ b_i, i Є 1,m (5.1)

где g_i – некоторая функция; b_i – фиксированная скалярная величина; С_i – некоторая совокупность фиксированных величин (например, скаляр, вектор и т.п.).

Условия (5.1) определяют область Ω_X допустимых значений X. ЛПР управляет операцией, выбирая ту или иную стратегию из области Ω_X их допустимых значений.

Эффективность действий ЛПР оценивается совокупностью критериев e₁, e₂, …, e_k, которые могут различаться своими коэффициентами относительной важности λ₁, λ₂, …, λ_k.

Критерии e_q, q Є 1,k образуют вектор критериев E = (e_q), а коэффициенты λ_q – вектор важности Λ = (λ_q). Критерии e_q, q Є 1,k, входящие в состав векторного критерия E, будем называть частными или локальными критериями. Каждый локальный критерий характеризует некоторую локальную цель операции.

Локальные критерии, в свою очередь, могут быть как скалярами, так и векторами или какими-то более сложными образованиями.

Каждый локальный критерий e_q связан со стратегией, то есть

e_q = e_q (A_q, X), q Є 1,k (5.2)

где A_q – некоторая совокупность фиксированных факторов.

Тогда векторный критерий Е будет представлять собой вектор-функцию от стратегии Х, то есть

Е = ( е_q (А_q, Х) ) = Е (А, Х) (5.3)

где А – совокупность констант, соответствующая совокупности локальных констант А_q, q Є 1,k.

Пусть цель ЛПР состоит в увеличении возможных значений всех локальных критериев эффективности. Средством достижения цели операции является соответствующий выбор стратегии Х из области Ω_Х ее допустимых значений.

Очевидно, что одновременное достижение цели по всем локальным критериям за счет выбора стратегии Х невозможно. Выход состоит в том, чтобы прибегнуть к некоторому компромиссу в достижении локальных целей операции.

Таким образом, перед ЛПР стоит задача: требуется найти оптимальную стратегию Х, определяемуюдвумя условиями: 1) стратегия Х должна быть осуществима, то есть должна принадлежать множеству Ω_Х ее допустимых значений; 2) стратегия должна быть оптимальной в смысле принятого в задаче принципа компромисса с учетом вектора Λ важностей локальных критериев.

Иными словами, оптимальное решение Х должно удовлетворять соотношению

Е = Е(Х) = opt [E (X), Λ], X Є Ω_Х (5.4)

где символами Х и Е обозначены оптимальное значение стратегии Х и соответствующее ей оптимальное значение вектора эффективности Е, а символом opt обозначен некоторый оператор оптимизации.

Оператор opt определяет принцип оптимальности, то есть принцип, определяющий выбор наилучшего решения среди всех допустимых. Принцип оптимальности представляет собой математическое выражение (математическую модель) принятого в задаче принципа компромисса. Конкретный смысл оператора opt должен быть указан в каждом частном случае ЗПР.