Модель Джелинского-Моранды.

Модель основана на следующих предположениях:

1. Интенсивность обнаружения ошибок R(t) пропорциональна текущему количеству ошибок в программе,то есть изначальному количеству ошибок за вычетом количества ошибок, уже обнаруженных на данный момент.

2. Все ошибки в программе равновероятны и не зависят друг от друга.

3. Все ошибки имеют одинаковую степень важности.

4. Время до следующего отказа программы распределено экспоненциально.

5. Исправление ошибок происходит без внесения в программу новых ошибок.

6. R(t) = const в промежутке между любыми двумя соседними моментами обнаружения ошибок.

Согласно этим предположениям, функция риска будет представлена как:

В этой формуле t – это произвольный момент времени между обнаружением (i-1)-й и i-й ошибок; K – неизвестный коэффициент масштабирования; B – начальное количество оставшихся в программе ошибок (также неизвестное).

Таким образом, если в течении времени t было обнаружено (i-1) ошибок, это означает, что в программе еще остается B-(i-1) необнаруженных ошибок.

Полагая, что и используя предпосылку 6, можно заключить, что все X_i имеют экспоненциальное распределение

и плотность вероятности отказа, соответственно, равна

Тогда функцию правдоподобия (согласно предпосылке 2) можно записать как

или, переходя к логарифму функции правдоподобия, имеем

(13.2)

Максимум функции правдоподобия можно найти, используя следующие условия

(13.3)

(13.4)

Из формулы (13.3) получается оценка максимального правдоподобия для K

(13.5)

Подставляя выражение (13.5) в (13.4), находим нелинейное уравнение для вычисления –оценки максимального правдоподобия для B

(13.6)

Это уравнение можно упростить перед тем, как искать его решение, если записать его с использованием следующих обозначений

Поскольку имеют смысл лишь целочисленные значения , функции из выражения (13.7) можно рассматривать только для целочисленных аргументов. Более того,, поскольку n ошибок с программе уже обнаружено. Таким образом, оценка максимального правдоподобия для B может быть получена с помощью вычисления начальных значений функций f_n(m) и g_n(m) для m=n+1, n+2…, и анализа разницы |f_n(m)-g_n(m)|. Поскольку правая и левая части выражения (13.7) одинаково монотонны, это порождает проблему единственности решения, а также проблему его существования. Конечное решение в области существует тогда и только тогда, когда выполняется неравенство .

Простая экспоненциальная модель.

Основное различие между этой моделью и моделью Джелинского-Моранды, рассмотренной в предыдущем разделе, в том, что эта модель не использует предположение 6, и, таким образом, допускает, что функция риска может меняться между моментами обнаружения ошибок, то есть она больше не является константой на этих интервалах. Пусть N(t) – число ошибок, обнаруженных к моменту времени, и пусть функция риска пропорциональна количеству ошибок, оставшихся в программе после момента t.

Продифференцируем обе части этого уравнения по времени:

Учитывая, что - это R(t) (количество ошибок, обнаруживаемых в единицу времени), получаем дифференциальное уравнение для R(t)

(13.10)

Если рассмотреть начальные значения N(0)=0, R(0)=KB, то решением уравнения (3.10) будет

(13.11)

Оценки параметров К и В можно получить аналогично модели Джелинского-Моранды и затем с помощью оценки функции риска можно спрогнозировать ситуацию на следующие этапы отладки.