Лабораторная работа 18. Математическое моделирование выпуска продукции при неопределённом спросе

На практике часто встречается ситуация, когда при налаживании производства новой продукции заранее неизвестна успешность её продажи. Допустим, в результате производства и реализации единицы трёх видов продукции А₁, А₂, А₃ предприятие получает доход, зависящий от её спроса. Этот спрос может принимать одно из четырёх заранее неизвестных состояний: В₁, В₂, В₃, В₄. Возможные значения доходов представим платёжной матрицей (таблица 1):

Таблица 1 Платёжная матрица

Вид продукции	Доход, зависящий от спроса на продукцию, у.е.
	В1	В2	В3	В4
А1	7	5	9	5
А2	8	8	10	5
А3	9	6	8	7

Требуется определить: в каких пропорциях следует выпускать продукцию А₁, А₂, А₃ чтобы получить максимальный чистый доход при любом состоянии спроса? Для этого необходимо выполнить следующее:

• представить задачу о выпуске продукции как матричную игру предприятия с потребителем, считая спрос на продукцию полностью неопределённым,

• произвести упрощение платёжной матрицы (таблица1), используя принцип доминирования,

• найти оптимальные стратегии и цену игры,

• определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции с целью получения максимальной выгоды предприятию,

• определить наиболее выгодный для предприятия вид продукции, используя критерии: Лапласа, Вальда и Сэвиджа.

Рассмотрим поставленную задачу как матричную игру двух лиц: с одной стороны предприятие (игрок А), которое может выпускать продукцию А₁, А₂, А₃ (три чистых стратегии), а с другой стороны- покупатель (игрок В), имеющий четыре возможных состояния спроса на продукцию В₁, В₂, В₃, В₄ (четыре чистые стратегии).

Допустим - оптимальная стратегия игрока А, а - оптимальная стратегия игрока В. Согласно принципу доминирования стратегию А₁ следует исключить из рассмотрения, т.к. в платёжной матрице все элементы первой строки не превосходят соответствующих элементов второй строки. Тогда можно записать, что . В результате получим новую матрицу (таблица 2):

Таблица 2 Платёжная матрица

Вид продукции	Доход, зависящий от спроса на продукцию, у.е.
	В1	В2	В3	В4
А2	8	8	10	5
А3	9	6	8	7

Элементы 1-го и 3-го столбцов таблицы 2 доминируют над элементами 2-го столбца, поэтому их также можно исключить из дальнейшего рассмотрения и положить . Это объясняется тем, что ищется гарантированный доход, который может образоваться при самом неблагоприятном для производителя состояния спроса. В результате получим платёжную матрицу размером 2х2 (таблица 3):

Таблица 3 Платёжная матрица

Вид продукции	Доход, зависящий от спроса на продукцию, у.е.
	В2	В4
А2	8	5
А3	6	7

Дальнейшее упрощение платёжной матрицы уже невозможно. Оптимальная стратегия игрока А определяется следующим образом: от элементов 1-го столбца (таблица 3) вычитаются соответствующие элементы 2-го столбца, и получившиеся разности берутся по абсолютной величине. Получим столбец: . Вероятности стратегий обратно пропорциональны элементам этого столбца, то есть:

Оптимальная стратегия игрока В определяется следующим образом: от элементов 1-й строки вычитаются соответствующие элементы 2-й строки, и получившиеся разности берутся по абсолютной величине. Получим строку (2 2). Вероятности стратегий обратно пропорциональны элементам этой строки, то есть:

Определяем цену игры по любой из четырёх формул:

Таким образом, мы получили оптимальные стратегии игроков:

Следовательно, продукция А₁ не должна выпускаться, продукции А₂ необходимо выпускать от общего объёма, продукции А₃ необходимо выпускать от общего объёма. Тогда от выпуска единицы продукции предприятию гарантирован максимальный средний доход равный у.е. Наиболее неблагоприятным для предприятия является спрос В₂ и В₄. Для любого другого состояния спроса средний доход предприятия будет больше, чем .

Определим наиболее выгодный для предприятия вид продукции, используя критерии: Лапласа, Вальда и Сэвиджа .

Применение критерия Лапласа, предполагает, что любое состояние спроса является равновероятным , то есть: q₁ = q₂ = q₃ = q₄ = . Тогда в случае применения стратегии А₁ доход равен , в случае применения стратегии А₂ доход равен , а в случае применения стратегии А₃ доход равен . Таким образом, оптимальной по Лапласу является стратегия А₂, приносящая максимальный средний доход , равный Следовательно, предполагая спрос равномерным, следует выпускать только продукцию А₂.

Критерий Вальда является критерием крайнего пессимизма, так как игрок А исходит из предположения, что спрос на продукцию действует на него наихудшим образом. Поэтому, применяя стратегию А₁ можно рассчитывать только на получение дохода, равного наименьшему из чисел 1-й строки платёжной матрицы , в случае применения стратегии А₂ можно рассчитывать на получение дохода , а в случае применения стратегии А₃ можно рассчитывать на получение дохода Итак, оптимальной по Вальду является стратегия А₃, приносящая максимальный средний доход, равный Это означает, что необходимо налаживать выпуск продукции А₃.

Рассмотрим критерий Сэвиджа. Для его применения необходимо построить матрицу рисков (табл.4) в соответствии с формулами:

, где ,

здесь i- номер строки, j- номер столбца.

Например, для получения 1-го столбца матрицы рисков необходимо взять максимальное значение элемента в 1-м столбце платёжной матрицы, т.е. 9; далее из него вычесть сначала значение элемента 1-й строки платёжной матрицы: 9-7=2, затем 2-й: 9-8=1 и наконец 3-й строки: 9-9=0 (табл. 4). Остальные столбцы вычисляются аналогично.

Таблица 4

Матрица рисков

Вид продукции	Доход, зависящий от спроса на продукцию, у.е.
	В1	В2	В3	В4
А1	2	3	1	2
А2	1	0	0	2
А3	0	2	2	0

Критерий Сэвджа также является критерием крайнего пессимизма, только по отношению к матрице рисков. Применяя стратегию А₁, можно ожидать, что игрок А понесёт потери, равные наибольшему из чисел 1-й строки матрицы рисков (табл. 4): r₁=max(2,3,1,2)=3. Для стратегий А₂ и А₃ можно ожидать, что потери составят r₂=max(1,0,0,2)=2 и r₃=max(0,2,2,0)=2. Отсюда следует, что оптимальными по Сэвиджу являются стратегии А₂ и А₃, приносящие предприятию минимальный риск, равный

Поставленную задачу удобно решать в пакете Microsoft Excel. Для этого необходимо определить оптимальную стратегию игроков.

Стратегия P=(p_i) игрока А является оптимальной, если функция достигает максимального значения при условии , . Стратегия Q=(q_i) игрока В является оптимальной, если функция , .

Элементы платёжной матрицы разместим в ячейках В2:Е4, как показано в табл. 5.

Таблица 5 Таблица исходных данных в Microsoft Excel

Допустим, в ячейках G2:G4 располагаются вероятности применения чистых стратегий игроком В. Эти ячейки пока остаются пустыми.

В ячейку G5 поместим формулу =СУММ(G2:G4), означающую, что в ней содержится . В ячейку F6 поместим формулу =СУММ(В6:Е6), означающую, что в ней содержится . В каждую ячейку блока В8:Е8 записывается сумма произведений соответствующего столбца платёжной матрицы на вероятности применения игроком А чистых стратегий, то есть:

В8 = СУММПРОИЗВ(В2:В4;G2:G4),

C8 = СУММПРОИЗВ(C2:C4;G2:G4),

D8 = СУММПРОИЗВ(D2:D4;G2:G4),

E8 = СУММПРОИЗВ(E2:E4;G2:G4).

В ячейку F8 помещается минимальное из чисел b_j то есть:

F8 = МИН(В8:Е8).

Аналогично, содержимым каждой ячейки I2:I4 является сумма произведений соответствующей строки платёжной матрицы на вероятности применения игроком В чистых стратегий, то есть:

I2 = СУММПРОИЗВ(B2:Е2;В6:Е6),

I3 = СУММПРОИЗВ(B3:Е3;В6:Е6),

I4 = СУММПРОИЗВ(B3:Е4;В6:Е6).

В ячейку I5 помещается максимальное из чисел a_{i ,} то есть:

I5 = МАКС(I2:I4).

Далее следует обратиться к макрокоманде «Поиск решения» строки меню «Сервис». В появившемся окне следует заполнить графы, как это показано на рис. 1, и нажать кнопку «Выполнить».

Рис. 1

Затем необходимо снова обратиться к макрокоманде «Поиск решения», заполнить графы, как показано на рис. 2.

Рис. 2

В результате этих действий будет произведён расчёт оптимальных стратегий игроков и будет получена табл. 6.

Таблица 6 Таблица результатов расчёта в Microsoft Excel

Из табл. 6 находим: в ячейках G2:G4 оптимальную стратегию P^* = (0; 0,25; 0,75) игрока А, в ячейках В6:Е6 оптимальную стратегию Q^*=(0; 0,5; 0; 0,5) игрока В, в ячейках I5 и F8 цену игры v=6,5.

Таким образом, мы подтвердили полученные выше теоретические результаты.