Завдання для самостійного розв’язування

2. Знайти інтервали зростання і спадання функції f:

а) ; в) .

3. Знайти точки екстремуму і екстремуми функції f:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

4. Знайти найбільше і найменше значення функції f на вказаному відрізку:

а) , [0;2]; г) , [–2;1].

5. Парканом завдовжки 200 м необхідно загородити найбільшу за площею прямокутну ділянку. Якими мають бути розміри ділянки?

6. Для перевезення овочів необхідно виготовити ящики без кришок, що мають форму прямокутного паралелепіпеда. Об’єм кожного ящика дорівнює 40,5 дм³, а висота – 2 дм. Якими повинні бути розміри основи ящика, щоб на його виготовлення було витрачено найменшу кількість матеріалу?

7. У одному з цехів підприємства виготовляють продукцію певного виду. Витрати на виробництво х одиниць продукції виражаються функцією (грн.), а дохід, одержаний від її реалізації – функцією (грн.). Визначити, яку кількість продукції потрібно виготовити, щоб прибуток від її реалізації був максимальним.

8. Знайти інтервали опуклості вгору, опуклості вниз та точки перегину графіка функції f:

а) ; б) ; в) ;

г) .

9. Знайти асимптоти графіка функції f:

а) ; б) ; в) ;

е) .

Відповіді:

2. а) інтервал зростання: (–; 2), інтервал спадання: (2; +); в) інтервали зростання: (–; –2) і (0; +), інтервал спадання: (–2; 0).

3. 1) x_max=0, y_max=4; 2) x_max=–1, y_max=–2, x_min=3, y_min=6; 3) x_min=–1, y_min=3; 4) x_min= , y_min= ; 5) x_max=e, y_max= ;

4. а) , ; г) , .

5. 50 м  50 м.

6. 4,5 дм  4,5 дм.

7. 24.

8. а) опукла вгору на інтервалі (–; 1) і опукла вниз на інтервалі (1; +), х=1 – точка перегину;

б) опукла вгору на інтервалі (–; –1) і опукла вниз на інтервалі (–1; +), точок перегину немає;

в) опукла вгору на інтервалі , опукла вниз на інтервалах: (–; 0) і , – точка перегину;

г) опукла вниз на інтервалах: (–; –2) і (2; +), інтервалів опуклості вгору і точок перегину немає.

9. а) х=2, х=3 – вертикальні асимптоти, y=0 – горизонтальна асимптота;

б) х=3 – вертикальна асимптота, y=х–3 – похила асимптота;

в) y=0 – ліва горизонтальна асимптота;

е) y=1 – права горизонтальна асимптота.

Заняття 14

§4.5. Дослідження функції та побудова її графіка

Дослідження функції, як правило, здійснюють за такою схемою:

Загальна схема дослідження функції y=f(x)

1. Знайти область визначення функції f.

2. Знайти інтервали неперервності та точки розриву функції.

3. Знайти вертикальні, горизонтальні та похилі асимптоти графіка функції та зобразити їх на площині XOY.

4. Знайти точки перетину графіка функції f з осями координат і позначити їх на площині XOY.

5. Знайти інтервали зростання і спадання, точки екстремуму і екстремуму функції та позначити відповідні точки на площині XOY.

6. Знайти інтервали опуклості вгору і опуклості вниз графіка функції, точки перегину і значення функції в них. Позначити ці точки на площині XOY.

7. Дослідити поводження функції у межових точках області визначення та в околі точок розриву.

8. Обчислити значення функції в деяких допоміжних точках і позначити їх на площині XOY (при необхідності).

9. Використовуючи проведене дослідження, побудувати графік функції y=f(x).