6.2 Математическая модель плиты аэродромного покрытия

Значением коэффициента динамичности плиты принято считать отношение прогиба покрытия под движущейся нагрузкой к прогибу от нагрузки стояночной:

где W – прогиб плиты от движущейся нагрузки; W₀ – прогиб плиты от стояночной нагрузки.

Для решения этой задачи была принята модель бесконечной пластины на основании Винклера. Модель представляет из себя тонкую бесконечную в плане пластину, покоящуюся на упругом основании, характеризуемым коэффициентом постели k_s. По плите перемещается равномерно распределенная по площади прямоугольника нагрузка. Математическая формулировка задачи и ее аналитическое решение описаны в работе R.K. Livesley 1951 г. Введем следующие обозначения в модель пластины:

Рисунок 18

(t), (t) – приведенные координаты:

(

где V_X - проекция скорости движения модели на ось Х;

V_Y - проекция скорости движения модели на ось Y. Для упрощения задачи принимаем движение вдоль координаты Х, считая, что V_Y=0;

l - упругая характеристика плиты:

где E - модуль упругости материала плиты;

h - толщина плиты;

 - коэффициент Пуассона =0,14;

k_s - коэффициент постели основания.

q(,) – равномерно распределенная по площади (2·d)x(2·c) подвижная нагрузка F:

Рисунок 19

В приведенных координатах нагрузка ограничивается:

Сущность модели Винклера состоит в допущении того, что давление на единицу площади подошвы основания p_s прямо пропорционально прогибу w. Коэффициентом пропорциональности является коэффициент постели упругого основания k_s:

Состояние такой идеализированной пластины описывается следующим гармоническим дифференциальным уравнением в частных производных:

где w() - функция прогиба плиты;

v - скорость движения нагрузки;

g – ускорение силы тяжести (g=9,81 м/с²);

 - объемный вес бетона т/м³;

- оператор Лапласа;

 - частотные характеристики нагрузки.

Решение такого уравнения в положительной координатной четверти предлагается для функции прогиба, представленной в виде двойного косинусного ряда Фурье. Подвижная нагрузка представляется двойным синусным рядом. При таком представлении неизвестного предлагается следующее решение:

Для случая точечной нагрузки, когда c и d стягиваются в нуль решение следующее:

где  - функция силы инерции движения нагрузки:

6.2.1 Исследование решения численными методами

Рассмотрим прогибы пластины для случая центрального загружения, когда ==0. Подынтегральное выражение существенно упрощается:

Приведенное выражение представляет собой поверхность следующего вида:

Рисунок 20

Говоря о сходимости двойного несобственного интеграла, зададимся точностью расчета последнего. Расчет будем считать оконченным при таком значении верхнего предела интегрирования А, когда при приращении области интегрирования на некое малое  приращение объема фигуры окажется меньше :

Для практических целей зададимся =10^-10. Анализы показывают, что при такой точности достаточно принять А=250·.

Знаменатель подынтегрального выражения никогда не обратиться в ноль. Однако, существует такое значение  для которого найдутся такие  и  при которых знаменатель будет близок к нулю. Значениями подынтегрального выражения в этой точке будут «большие» числа, а сам интеграл – разойдется. Такое значение  соответствует единственному значению скорости v, которое может быть определено из выражения для силы инерции движения нагрузки. Скорость, при которой интеграл расходиться или по другому – значения прогибов становятся бесконечно большими назвали критической v_c. Значение критической скорости определяется по выражению:

Когда скорость движения модели стремиться к критической в поверхности подынтегрального выражения нарастают два симметричных возмущения:

Рисунок 22

При выполнении численного анализа задавались следующими значениями параметров:

E=32400 МПа; =0,14; h=25 см; k_s=60,441 МН/м³; =2,35 т.с./м³;

Тогда l=0,9185 м; v_c=1500 км/ч. График зависимости коэффициента динамичности плиты от скорости имеет следующий вид:

Рисунок 23

В диапазоне реальных скоростей руления самолетов, как показывают расчеты, коэффициент динамичности плиты лишь четвертым знаком после запятой отличается от единицы.

Рисунок 24