Задача № 7.
Данные
о стоимости экспорта (
)
и импорта (
)
Индии, млрд. $, приводятся за 1990-1999 гг.
В уровнях рядов выявлены линейные тренды:
для
экспорта -
,
а для импорта –
По
указанным трендам произведено выравнивание
каждого ряда, то есть рассчитаны
теоретические значения их уровней:
и
.
Годы |
Экспорт (St) |
Импорт (Kt) |
||
Sфакт. |
|
K факт.. |
|
|
1990 |
18,0 |
16,4 |
23,6 |
18,5 |
1991 |
17,7 |
18,7 |
20,4 |
21,4 |
1992 |
19,6 |
21,0 |
23,6 |
24,3 |
1993 |
21,6 |
23,3 |
22,8 |
27,2 |
1994 |
25,1 |
25,6 |
26,8 |
30,1 |
1995 |
30,8 |
27,9 |
34,5 |
33,0 |
1996 |
33,1 |
30,2 |
37,4 |
35,9 |
1997 |
34,2 |
32,5 |
41,0 |
38,8 |
1998 |
32,9 |
34,8 |
42,2 |
41,7 |
1999 |
36,3 |
37,1 |
44,9 |
44,6 |
=
Предварительная обработка исходной информации дала следующие результаты:
-
St
Kt
t
St
1
0,9725
0,9658
Kt
0,9725
1
0,9558
T
0,9658
0,9558
1
Итого
269,3
317,2
55
Средняя
26,93
31,72
5,5
6,926
8,795
2,872
Задание:
1.
Для изучения связи рядов рассчитайте
отклонения фактических значений каждого
ряда от теоретических (
);
2.
Для оценки тесноты связи рассчитайте:
а) линейный коэффициент парной корреляции
отклонений от линии тренда:
;
б) уровней рядов:
и в) коэффициент частной корреляции
уровней:
;
поясните их значения, укажите причины
различий значений парных коэффициентов
корреляции (пп. «а» и «б») и схожести
коэффициентов парной корреляции
отклонений и частной корреляции уровней
(пп. «а» и «в»);
3. Постройте уравнение множественной регрессии с участием временной составляющей:
4. Проанализируйте полученные результаты.
Решение
1. Отклонения фактических значений каждого ряда от теоретических ( и ):
Годы |
Экспорт (St) |
Импорт (Kt) |
|
|
|
|
|
||
Sфакт |
Sтеорет |
Kфакт |
Kтеорет |
DU |
DU2 |
DВ |
DВ2 |
DU*DB |
|
1990 |
18 |
16,4 |
23,6 |
18,5 |
-1,6 |
2,56 |
-5,1 |
26,01 |
8,16 |
1991 |
17,7 |
18,7 |
20,4 |
21,4 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1992 |
19,6 |
21 |
23,6 |
24,3 |
1,4 |
1,96 |
0,7 |
0,49 |
0,98 |
1993 |
21,6 |
23,3 |
22,8 |
27,2 |
1,7 |
2,89 |
4,4 |
19,36 |
7,48 |
1994 |
25,1 |
25,6 |
26,8 |
30,1 |
0,5 |
0,25 |
3,3 |
10,89 |
1,65 |
1995 |
30,8 |
27,9 |
34,5 |
33 |
-2,9 |
8,41 |
-1,5 |
2,25 |
4,35 |
1996 |
33,1 |
30,2 |
37,4 |
35,9 |
-2,9 |
8,41 |
-1,5 |
2,25 |
4,35 |
1997 |
34,2 |
32,5 |
41 |
38,8 |
-1,7 |
2,89 |
-2,2 |
4,84 |
3,74 |
1998 |
32,9 |
34,8 |
42,2 |
41,7 |
1,9 |
3,61 |
-0,5 |
0,25 |
-0,95 |
1999 |
36,3 |
37,1 |
44,9 |
44,6 |
0,8 |
0,64 |
-0,3 |
0,09 |
-0,24 |
Итого |
|
|
|
|
-1,8 |
32,62 |
-1,7 |
67,43 |
30,52 |
Средняя |
|
|
|
|
-0,18 |
3,26 |
-0,17 |
6,74 |
3,05 |
Сигма |
|
|
|
|
1,81 |
ххх |
2,60 |
ххх |
ххх |
2. Тесноту связи рядов оценим с помощью линейного коэффициента парной корреляции отклонений от тренда:
Отсюда:
Полученные значения показателей корреляции говорят о том, что между экспортом и импортом Индии связь имеется со средней вероятностью и часть ее скорее всего объясняется случайными признаками.
Расчетное значение F-критерия подтвердит это предположение:
При числе уровней свободы k1 = 1 и k2 =n-m-1 = 10 – 1 – 0 = 9, и уровне критерия значимости равном = 0,05 по таблице Фишера значение F-критерия должно быть не ниже 5,12 чтобы связь могла считаться существенной. Для нашего случая имеет место: 6,39 >5,12. То есть корреляция факторов не является случайностью с вероятностью 95 %.
3.
Для формализованного представления
подобных зависимостей и использования
моделей связи динамических рядов в
прогнозных расчётах предлагается
построить множественную регрессионную
модель связи рядов, включая в неё в
качестве обязательной составляющей
фактор времени t.
Речь идёт о построении модели следующего
вида:
.
В данной задаче в уровнях обоих рядов
присутствует линейный тренд. Поэтому
включение в модель линейно влияющего
фактора времени позволит через коэффициент
а2
отразить
наличие линейного тренда в уровнях
обоих рядов. Если
в уровнях рядов представлены тренды
иной,
более сложной формы, тогда уравнение
множественной регрессии должно через
фактор времени отразить эту
более
сложную
форму трендов.
Истинную
силу и направление связи рядов отразит
коэффициент регрессии а1
, а
тесноту их связи оценит частный
коэффициент корреляции:
.
Для
построения уравнения в стандартизованном
масштабе:
рассчитаем значения
-коэффициентов:
Получено
следующее уравнение:
.
Его параметры позволяют сделать вывод о том, что влияния импорта на экспорт почти одинаково, как и влияние систематических факторов, формирующих линейный тренд:
По значениям -коэффициентов рассчитаем параметры множественной регрессии в естественной форме:
;
.
Уравнение имеет вид:
.
То есть, с увеличением импорта на 1 млрд. $ экспорт увеличивается на 0,450 млрд.$; под влиянием комплекса систематических факторов (которые условно обозначили через ti ) экспорт увеличивается в среднем за год на 1,012 млрд. $.
Оценку тесноты связи рядов, очищенную от влияния комплекса систематических факторов, даёт частный коэффициент корреляции:
;
.
Как видим, получены результаты, точно совпадающие с оценками тесноты связи по отклонениям от лучших трендов, которыми, в данном случае, являются линейные тренды.