2. Характеристики функционирования смо

2.1.Характеристики одноканальных смо (ок смо) с однородной нагрузкой

ОК СМО типа G/G/1, для которой определены параметры нагрузки, а именно, интенсивность  и КВ _а интервалов поступления, интенсивность обслуживания  и КВ  длительности обслуживания.

Основными характеристиками, определяющими качество функционирования такой СМО, являются:

1. вероятности состояний системы;

2. загрузка или коэффициент использования системы ρє[0,1] (ρ=λ/μ=λ*b=b/a);

3. время ожидания заявок в системе w - ДСВ;

4. время пребывания в системе u - НСВ;

5. среднее число заявок в очереди системы или средняя длина очереди l - НСВ;

6. среднее число заявок в системе в целом m - ДСВ.

Все перечисленные характеристики имеют смысл ТОЛЬКО тогда, когда система функционирует в установившемся режиме (то есть без перегрузок, ρ<1). В большинстве практических приложений достаточно анализировать характеристики на уровне их средних значений

Формулы Литлла: Число время

ДСВ = скорость* НСВ

1.N*ρ = λ * b

2.N*l = λ * w

3.N*m = λ * u

02042012 Лекция 9

Вероятности состояний системы

Самая полная характеристика системы, так как, зная вероятности её состояний, можно определить все остальные характеристики. Под состояниями СМО понимается число заявок в системе. k заявок, вероятности Pk.

ПРИМЕР!!!!! Как получить все остальные!

Загрузка системы

Самая распространенная. Загрузка ρ – это отношение интенсивности поступления λ к интенсивности обслуживания μ (среднее число заявок, поступающих за среднее время облуживания одной заявке приборе). То есть ρ=λ/μ = λ*b = b/a. ЭТО НЕ ПАРАМЕТР ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

а и b – средние значения интервалов поступления и длительности обслуживания соответствует.

Значение загрузки определяет условия существования стационарного режима.

Необходимое и достаточное условие (единственное условие): Когда ρ<1, означает, что в системе соблюдается стационарный режим, система в среднем справляется с поступающей нагрузкой. Или же λ<μ.

Если же ρ≥1, то СМО работает в режиме перегрузки.

Загрузка характеризует аспекты функционирования системы, которые в совокупности образуют физический смысл загрузки:

1. среднее N заявок, поступающих в систему за единицу времени.

2. это доля времени, в течение которого прибор занят обслуживанием.

3. вероятность того, что прибор занят обслуживанием .

4. среднее число заявок, находившихся в обслуживающем приборе.

Справедливость первого утверждения следует из определения самой загрузки =b: если  – среднее число заявок, поступающих в единицу времени, то за время b в систему поступят в среднем b заявок.

Стационарный режим – система опустошается.

Справедливость утверждения "2" доказывается следующим образом: предполагается, что на длительном интервале t времени функционирования системы (при условии, что в начале и в конце этого интервала система была свободна). За время t в систему в среднем поступят t заявок, каждая из которых в среднем обслуживается за время b. Тогда суммарное время обслуживания всех заявок равно *t*b. Отсюда доля времени, в течение которого прибор занят обслуживанием заявок, равна *t*b/t=*b=, что и следовало показать.

Утверждение третье напрямую следует из второго утверждения, так как рассматриваемая ранее доля времени и есть вероятность того, что прибор был занят. Вероятность простоя система = 1-ρ.

Последнее утверждение вытекает из предыдущего: в приборе может находиться одна заявка с вероятностью  и ноль заявок с вероятностью (1–). Тогда среднее число заявок в прибор = 1· + 0·(1–)=.

↑На зачёте и при защите лабы будет задавать вопросы по этой теме

Время ожидания заявок в очереди системы

Это случайная величина, случайное время, как правило, которое заявок проводит в очереди в состоянии ожидания. Среднее значение этого времени представляет для нас наибольший интерес и обозначается w.

(На уровне мгновенных значений тоже можно проводить расчёты, но не факт, что не будет сильно отличаться от матожидания)

Время пребывания заявки в системе

Это случайный промежуток времени от момента поступления заявки в СМО до момента окончания её обслуживания. Для среднего значения времени пребывания u справедливо следующее равенство: u = w+b.

Среднее число заявок в очереди (Или же средняя длина очереди) l = λ*w

Среднее число заявок в системе

Складывается из среднего числа заявок в очереди и приборе: m = l+ρ=λ*w + λ*b = λ*(w+b) = λ* u

Данные формулы называются формулами Литтла:

ρ = λ * b – для прибора

l = λ * w – для очереди

m = λ * u – для системы в целом

Формулы Литтла справедливы и соотношения взаимосвязи между характеристиками для любых законов распределения интервалов поступления и длительности обслуживания. И, таким образом, носят базовый (фундаментальный) характер. Единственное требование: Система должна быть без отказов, то есть накопитель должен быть неограниченным.

Предположим, что известны все состояния системы и, соответственно, вероятности этих состояния Р_к=Pr{в системе находится k заявок}, k = 0, 1, 2, ....

Тогда загрузка системы ρ, которая характеризует вероятность того, что, прибор занят обслуживанием, определяется равенством:  ,где P₀ – вероятность простоя системы.

В системе могут находиться 1, 2, 3, ... заявок соответственно с вероятностями P₁, P₂, P₃, .... Тогда, исходя из определения математического ожидания дискретной случайной величины, среднее число заявок в системе .

Если в системе находится k заявок, то в очереди ожидают k–1 заявка (k= 1, 2, 3, ...). Тогда средняя длина очереди m–.

Зная среднее число заявок в системе (m) и в очереди (l), соответствующие временные характеристики можно определить по формулам и утверждениям Литтла: u=m/ и =l/=u–b.