МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАІЇНИ
ГИМНАЗІЯ №4
НАУКОВО-ДОСЛИДНИЦЬКА РОБОТА
На тему: розв’язування нестандартних рівнянь
Виконав:Яценко Олексій
Керівник:_____________
Миколаїв
2012
Квадратні рівняння
Квадратним називається рівняння виду ax2 + bx + c = 0, де a, b, c – фіксовані дійсні числа, a 0.
Якщо хоч один із коефіцієнтів b або c дорівнює нулю, квадратне рівняння називається неповним.
Розглянемо, як розв’язуються неповні квадратні рівняння:
а) якщо c=0, b≠0, тоді ax2+bx=0 ↔ отже, рівняння має два корені: x1 =0, x2= - ;
б) якщо b = 0, c ≠ 0, тоді ax2 + c = 0, x2 = , причому при рівняння не має розв’язків, якщо ж рівняння має два розв’язки: ;
в) якщо тоді і .
Приклади
Розв’язати рівняння
*
Відповідь: .*
2. Розв’язати рівняння .
*
Відповідь: .*
3. Розв’язати рівняння
* Відповідь: розв’язків немає. *
При досліджені квадратного тричлена було доведено, що квадратне рівняння має два різних корені: , де . Якщо , то квадратне рівняння має один корінь . Нарешті, якщо , розв’язків немає.
Приклади
1.Розв’язати рівняння
* Послідовно знаходимо: ;
17 . Рівняння має два розв’язки: . Відповідь: .*
2. Розв’язати рівняння
* Рівняння має два розв’язки: Відповідь: *
3. Розв’язати рівняння
* Рівняння не має розв’язків. Відповідь: розв’язків немає.*
4. Розв’язати рівняння
* Це рівняння не є квадратним, але зводиться до квадратного:
Розв’яжемо рівняння Маємо . звідки Маємо систему:
звідки Відповідь:
У випадку, коли середній коефіцієнт , формула розв’язків квадратного рівняння спрощується. Нехай тоді
Приклади
5. Розв’язати рівняння
* Тут За формулою маємо звідки Відповідь: *
6. Розв’язати рівняння
* Це рівняння з параметром не є квадратним, але зводиться до квадратного. ОДЗ: В області допустимих значень маємо , або звідки отже, Згадаємо, що таким чином, звідки . При дане рівняння має вигляд , звідки Відповідь: при рівняння має два розв’язки: при при рівняння втрачає сенс.*
Нехай квадратне рівняння має корені (можливо, . Помітимо, що .
У випадку, коли Многочлени і тотожно рівні. Отже, , звідки виходять рівності .
З наведених міркувань випливає справедливість теореми Вієта: для того щоб числа коренями квадратного рівняння , необхідно і достатньо,щоб виконувалися рівності .
Зокрема, якщо - корені квадратного рівняння
Приклади
Знайти суму квадратів коренів рівняння
* Нехай - корені даного рівняння (вони існують, бо ). Згідно з теоремою Вієта, . Тепер маємо Відповідь: 3. *
2. При яких значеннях параметрів рівняння має корені , якщо ?
* Згідно з теоремою Вієта, маємо систему рівнянь
Враховуючи, що , здобудемо значення цих параметрів: .
ПЕРЕВІРКА. Рівняння має корені ВІДПОВІДЬ: *
3. При якому значенні корені рівняння задовольняють умову ?
* Згідно з теоремою Вієта, . Маємо систему
звідки . Тепер, згідно з теоремою Вієта, одержимо . ВІДПОВІДЬ: *
4. Обчислити суму обернених величин коренів рівняння
* Нехай корені даного рівняння. За теоремою Вієта
Далі маємо ВІДПОВІДЬ: *
5. При якому значенні параметра різниця коренів рівняння дорівнює ?
* Нехай корені даного рівняння і Згідно з теоремою Вієта, Маємо систему
звідки За теоремою Вієта отже,
ВІДПОВІДЬ: . *
6. Сума квадратів коренів рівняння дорівнює 10. Знайти .
* Нехай корені квадратного рівняння. Згідно з теоремою Вієта, . За умовою, . Отже, звідки ВІДПОВІДЬ: *
ЗАУВАЖЕННЯ. Дискримінант даного рівняння отже, корені існують при будь якому
7. Скоротіть дріб
* Якщо корені квадратного тричлена Розкладемо чисельник і знаменник даного дробу на множники. Чисельник: Отже, Знаменник: Отже, Тепер маємо ВІДПОВІДЬ: *
8. корені рівняння Скласти квадратне рівняння, коренями якого є числа
* 1-й спосіб. Шукане рівняння має вигляд звідки
Згідно з теоремою Вієта, Тепер із рівняння маємо При бажанні одержати рівняння із цілими коефіцієнтами, до множимо обидві частини останнього рівняння на 3 і одержимо
2-й спосіб. Якщо корінь рівняння корінь рівняння Отже, якщо корені рівняння корені рівняння ВІДПОВІДЬ: . *
9. корені рівняння Скласти квадратне рівняння, коренями якого є числа .
* 1-й спосіб. За теоремою Вієта Нехай шукане рівняння має вигляд , тоді
Отже, шукане рівняння
2-й спосіб. Якщо корінь рівняння то корінь рівняння Тому , якщо корені рівняння то корінь рівняння ВІДПОВІДЬ: *
10. При якому значенні параметра рівняння мають спільний корінь?
* 1-й спосіб. Нехай перше рівняння має корені а друге Згідно з теоремою Вієта, маємо дві системи
Ясно, що жодне з чисел не дорівнюють нулю. Розділивши другі рівняння, маємо . Віднявши від рівняння рівняння , одержимо, що Тепер маємо систему
звідки
При дані рівняння не мають коренів, отже, , із останього рівняння одержимо Тепер із рівняння маємо , з рівняння одержимо а з рівняння здобудемо
2-й спосіб. Нехай спільний корінь даних рівняння. Тоді звідки . Оскільки З рівності маємо
ПЕРЕВІРКА. При перше задане рівняння має корені , а друге один корінь (або два однакових корені) 1. ВІДПОВІДЬ: при . *
У деяких випадках можна розв’язати квадратне рівняння усно.
Теорема. Якщо , то квадратне рівняння має корені
* Дійсно, (за умовою). Згідно з теоремою Вієта, , звідки *
Наприклад, рівняння має корені (бо і (за теоремою Вієта) Рівняння має корені Рівняння має корені
Розглянемо ряд типових задач, пов’язаних із розв’язанням квадратних рівнянь з параметром.
Нехай корені рівняння мають різні знаки. Тоді , тобто коефіцієнти мають різні знаки. Ця умова є необхідною і достатньою для того, щоб корені існували і мали різні знаки, бо , оскільки . Ми довели теорему. Для того щоб числа 0 знаходилось між коренями рівняння , необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова .
Розглянемо задачу, що узагальнює одержаний результат. З’ясуємо, за яких умов фіксоване число знаходиться між коренями рівняння , тобто виконується умова
З умови випливає, що Нехай Тоді , де корені рівняння або Як було з’ясовано раніше, для виконання умови необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова