1.Числова послідовність. Границя послідовності. Означення. Геометричний зміст.

 Числова́   послідо́вність   —  послідовність  (математика) дійсних чисел, тобто відображення, яке кожному натуральному числу n ставить у відповідність дійсне число xn. Число xnназивають елементом або членом  послідовності . Щоб задати  послідовність , потрібно вказати спосіб, за допомогою якого можна знайти будь-який його член.

 Послідовність  можна задати описом знаходження її членів.

Скінчену  послідовність  можна задати переліком її членів.

 Послідовність  можна задати таблицею, у якій навпроти кожного члена  послідовності  вказують його порядковий номер.

 Послідовність  можна задати формулою, за якою можна знайти будь-який член  послідовності , знаючи його номер.

Спочатку вказати перший або кілька перших членів  послідовності , а потім- умову, за якою можна визначити будь-який член  послідовності  за попереднім.Такий спосіб задання послідовності  називають рекурентним.Якщо число   є  границею   послідовності   , то всі члени цієї  послідовності , номери яких  знаходяться у довільному  - околі точки . Що стосується членів  послідовності   номери яких  то про їх розміщення на числовій осі нічого не можна сказати, вони можуть знаходитися як всередині  - околу точки , так і поза ним. Проте у всякому разі поза довільним  - околом точки   може бути розміщене тільки скінчене число членів  послідовності .

3. Властивості збіжних числових послідовностей

Введемо поняття збіжних послідовностей та подамо ряд їх властивостей, які будемо формулювати у вигляді теорем.Означення . Числова  послідовність , яка має  границю , називається збіжною, а яка не має  границі , - розбіжною.Теорема 1.  Послідовність  може мати тільки одну  границю .Теорема 2. Якщо  послідовність  має  границю , то вона обмежена.

3.Границя функції в точці. Означення.Г еометричний зміст. Односторонні границі.

Надалі, говорячи про  границю   функції     в   точці   , будемо вважати, що вона задана у деякому проколотому околі точки   .

Означення 1.4. Число   називається  границею   функції    для  , що прямує до   (або  в   точці   ), якщо для довільного числа   існує таке число  , що для всіх  , які задовольняють умову  , виконується нерівність  .

Якщо число   є  границею   функції     в   точці   , то пишуть   або  , якщо  . Суть означення  границі   функції    у  точці    полягає  в  тому, що для всіх значень  , достатньо близьких до  , абсолютні значення  функції    як завгодно мало відрізняються від числа  .

Геометричний зміст  границі   функції   в   точці . Число   є  границею   функції   , якщо  , коли для довільного   можна знайти такий проколотий  -окіл  точки   , що для всіх   відповідні ординати  точок  графіка функції    будуть міститися  в  смузі  , якою би вузькою вона не була (рис. 3). Зауважимо, що  в  означенні  границі   функції   в   точці  ніяких умов на спосіб прямування   до   не накладалось. Якщо   так, що  , то така  границя  називається правосторонньою  границею   функції     в   точці    і позначається  .

  Рис. 3. Графічна інтерпретація означення  границі   функції   в   точці 

Аналогічно,   – лівостороння  границя   функції    у  точці   . Якщо  , то правосторонню і лівосторонню  границі   функції    у  точці    будемо позначати   і   відповідно.

Односторонні   границі . Ліва та права  границя  функції

Нехай функція   визначена на проміжку  . Число   називають лівою  границею  функції   в точці   і пишуть

,

якщо для будь-якого числа   знайдеться додатнє число  , яке залежить від  , таке, що для всіх  , які задовільняють нерівність  , виконується нерівність

.

Аналогічно визначається права  границя  функції  . Для позначення правої  границі  функції   в точці   використовується позначення

.

Ліва і права  границі  функції називаються  односторонніми   границями .

Якщо функція   визначена на проміжку  , за винятком, можливо, точки  , то для існування границі

необхідно і достатньо, щоб права і ліва границі функції   в точці   існували і були рівні:

.