Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Омский государственный университет путей сообщения

Кафедра «Системы передачи информации»

Дискретизация и восстановление непрерывных сигналов

Лабораторная работа № 2

Студенты гр. 20Г

______ К. И. Корниенко

______ А. В. Ведерников

______ К. А. Ерофеева

Руководитель–

______ К. А. Бондаренко

_________

Оценка

Омск 2012

Цель работы: изучение и экспериментальное подтверждение основных положений теоремы отсчетов (теоремы Котельникова).

1 Краткие теоретические сведения

Практически все реальные сигналы, используемые для передачи информации, имеют ограниченный спектр, т.е. амплитуды гармоник (или плотность спектра) выше некоторой частоты равны нулю или пренебрежимо малы. Объясняется это тем, что ни одна из реальных систем связи не имеет бесконечно широкого рабочего диапазона частот. Полупроводниковые, электровакуумные приборы, кабели, трансформаторы и другие элементы, входящие в систему, имеют ограниченный по частоте рабочий диапазон. Таким образом, все реальные сигналы есть сигналы с ограниченным спектром. Для таких сигналов справедлива следующая теорема, называемая теоремой Котельникова, или теоремой отсчетов: всякая функция сигнала с ограниченным спектром вполне определяется множеством своих значений, т.е. конечным числом значений на протяжении конечного интервала времени. Известна и другая более конкретная формулировка теоремы: функции с ограниченным спектром вполне определяются своими мгновенными значениями, отсчитанными через интервал , где – граничная частота спектра сигнала, . Если сигнал существует в течение времени , то его вполне можно представить отдельными значениями, которые называются «базой сигнала»:

.

В математическом плане теорема Котельникова означает разложение функции с ограниченным спектром в ряд:

.

Разберем структуру этого ряда. Члены ряда имеют дискретную структуру: их значения равны сигналу в дискретные моменты времени, определяемые аргументом . Составляющая  непрерывная функция времени , она зависит от спектра сигнала и называется функцией отсчетов. При аргументе она стремится к единице, при увеличении аргумента ее значение уменьшается и носит колебательный характер.

Таким образом, исходная непрерывная функция может быть получена суммированием членов ряда, каждый из которых является произведением отсчета на функцию отсчетов.

Дискретизируя непрерывный сигнал по времени, в фиксированные моменты получаем выборку этого сигнала. Остановимся на математическом представлении этой выборки. Прежде всего используем понятие – функции Дирака, которая подчиняется следующему правилу:

Ее интеграл .

Каждый отсчет сигнала в момент :

,

так как только при .

Выборка всего непрерывного сигнала:

.

Итак, непрерывный сигнал представлен выборкой. Далее каждый отсчет выборки можно привести к ближайшему стандартному уровню, т.е. нормировать всю выборку. Такая операция называется квантованием по уровню. После этого имеем ограниченное число стандартных уровней, являющихся конечным алфавитом значений выборки. Этот алфавит можно кодировать известными методами дискретной техники связи.

Две операции – дискретизация по времени и квантование по уровню – составляют основное содержание импульсно-кодовой модуляции. Практически эти преобразования делают в одном устройстве и здесь же осуществляют кодирование алфавита. Это устройство называют аналого-цифровым преобразователем.

При приеме сигналов возникает обратная задача: необходимо по имеющейся принятой выборке вновь восстановить непрерывный сигнал. Этот процесс восстановления называется интерполяцией. Принципов восстановления существует несколько. Какой из них предпочтительнее, определяется конкретной задачей с требуемой точностью. Самый простой способ восстановления подсказан структурой ряда Котельникова. Имеющаяся в нем функция отсчетов есть не что иное, как реакция фильтра нижней частоты (ФНЧ) на – функцию Дирака. С некоторой степенью приближения за такую функцию может быть принят каждый отсчет выборки. Таким образом, для восстановления сигнала необходимо имеющуюся выборку подать на вход ФНЧ с частотой среза, равной верхней частоте сигнала ( ). Каждый отсчет на выходе ФНЧ дает импульсную реакцию, равную функции отсчетов. Эти реакции наложатся друг на друга, и на выходе будет сформирован непрерывный сигнал .

Ошибка восстановления обусловлена следующими причинами:

1) спектр передаваемой функции обычно ограничен не резко. Это вытекает хотя бы из того факта, что все реальные сигналы ограничены во времени и, следовательно, имеют неограниченный спектр. Выбор интервалов отсчета означает, что все составляющие спектра с частотой , где , не передаются и не могут быть восстановлены приемником;

2) ряд Котельникова справедлив только при бесконечном числе отсчетов, а так как реальные сигналы конечны по длительности, то конечным будет и число отсчетов. Эти погрешности проявятся прежде всего в межотсчетных интервалах;

3) погрешность, даваемая интерполятором, будет всегда. В частности, если для этих целей применяется ФНЧ, то импульсная реакция реального фильтра не совпадает с функцией вида и в момент времени последующего отсчета не равна нулю; отличие тем больше, чем значительнее реальный фильтр отличается от идеального. Это приводит к тому, что напряжение на выходе реального фильтра даже в момент отсчета определяется всеми предыдущими отсчетами.