- •Тема №1. Линейные пространства Теоретические вопросы темы
- •Линейные пространства
- •Линейная зависимость систем векторов
- •Базис и размерность линейного пространства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений (ослау)
- •Формулы перехода от базиса к базису. Формулы преобразования координат при переходе от базиса к базису
- •Подпространства линейных пространств. Сумма и пересечение подпространств
- •Скалярное произведение векторов, евклидовы пространства
- •Процесс ортогонализации Шмидта
- •Дополнение системы векторов до ортогонального базиса
- •Тема №2. Линейные операторы Теоретические вопросы темы
- •Линейные операторы, их структуры
- •Структура линейного оператора
- •Матрицы линейного оператора в разных базисах
- •Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
- •Сопряженные линейные операторы
- •Теорема Фредгольма, ее применение к исследованию слау
- •Ортогональные матрицы и ортогональные операторы
- •Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду
- •Тема №3. Квадратичные формы Теоретические вопросы темы
- •Квадратичные формы, их канонический вид. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду
- •Метод ортогональных преобразований приведения квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределенные и знакопеременные квадратичные формы
- •Библиографический список
Тема №1. Линейные пространства Теоретические вопросы темы
Линейные пространства (ЛП): определение (аксиомы). Примеры ЛП.
Линейная зависимость, независимость системы векторов в ЛП. Основные теоремы (свойства).
Базис, размерность ЛП, разложение вектора по векторам базиса. Базис и размерность ЛП решений однородной системы линейных алгебраических уравнений (ОСЛАУ).
Переход от базиса к базису, свойства матрицы перехода. Формулы замены координат при переходе к новому базису.
Подпространства линейных пространств.
Сумма и пересечение подпространств. Линейная оболочка, свойства.
Евклидовы пространства: определение (аксиомы). Норма вектора. Неравенства Коши-Буняковского.
Ортонормированная система векторов, ее свойства. Процесс ортогонализации базиса ЛП.
Ортогональное дополнение, его свойства. Понятие ортогональной проекции и ортогональной составляющей.
Линейные пространства
Непустое множество векторов (элементов) , …, над которыми определены операция сложения двух векторов и операция умножения вектора на действительное число, причем выполняются условия (аксиомы): при всех ,
1) (аксиома коммутативности),
2) (аксиома ассоциативности),
3) существует единственный вектор такой, что (аксиома существования единственного нулевого вектора ),
4) существует единственный вектор такой, что (аксиома существования противоположного вектора ),
5) , 6) ,
7) , 8)
называется линейным пространством.
Задание 1. Выяснить, является ли множество элементов с введенными на нем операциями сложения двух элементов из и умножения элемента из на действительное число линейным пространством.
1.1. .
1.2. – множество функций , непрерывных на с операциями сложения функций и умножения функции на .
1.3. – множество вещественных матриц с операциями:
,
.
1.4. , ,
.
1.5. – множество всех функций , имеющих на отрезке конечное число точек разрыва первого рода; с обычными операциями сложения двух функций и умножения функции на число .
1.6. – множество квадратных матриц 3-го порядка с одинаковыми элементами, операции вводятся согласно матричной алгебре (см. 1.3).
1.7. , ,
.
1.8. – множество всех функций , имеющих на отрезке хотя бы один нуль ; с обычными операциями сложения двух функций и умножения функции на число .
1.9. , .
1.10. – множество всех функций , удовлетворяющих на отрезке теореме Роля; с обычными операциями сложения двух функций и умножения функции на число .
1.11. – множество симметрических матриц 2-го порядка .
1.12. , , .
1.13. – множество всех геометрических векторов в пространстве, параллельных фиксированной плоскости; с обычными операциями сложения двух векторов и умножения вектора на число .
1.14. , , .
1.15. , , .
1.16. , , .
1.17. – множество квадратных нижнетреугольных матриц 3-го порядка, для каждой из которых сумма диагональных элементов равна 0. Операции над матрицами определяются согласно матричной алгебре (см. 1.3).
1.18. , .
1.19. – множество всех геометрических векторов в пространстве, перпендикулярных фиксированной плоскости; с обычными операциями сложения двух векторов и умножения вектора на число .
1.20. , ,
.