15 ГиА. Обычные операции над матрицами и их свойства. Вычисление ранга матрицы. Построение обратной матрицы через алгебраические дополнения и на основе решения слау.

Матрица – прямоугольная таблица чисел из m строк, n столбцов N. m, n – порядки матрицы, они определяют размерность матрицы. Если m = n, то это квадр матрица

Обозначение:

Операции над матрицами

1) Умножение матрицы на число. Произведение матрицы А на число  R называется матрица С: cij = aij Обозначение:

Свойства умножения матриц на число

1. 1*A = A;

2. ()А = (А) (ассоциативность)

3. (А+В) = А+В (дистрибутивность относительно сложения матриц)

4. (+)А = А+А (дистрибутивность относительно сложения чисел)

ЗАМ: Разностью матриц А и В называется матрица С: С + В = А.

Обозначение . Имеет место:

2) Сложение матриц. Пусть dim A = dim B (необходимое условие), тогда суммой матриц А и В называется новая матрица С_mn: с_ij=a_ij+b_ij .

Обозначение:

Свойства сложения матриц

1. A+B=B+A (коммутативность);

2. (A+B)+C=A+(B+C) (ассоциативность);

3. сложение с нулевой матрицей;

4. существование противоположной матрицы;

3) Умножение матриц. Произведением матрицы А_mn на матрицу В_np называется матрица С_mp: Обозн:

(Строка i матрицы А умножается на столбец j матрицы В в смысле скалярного произведения). Если матрица A имеет размерность mxn, B — nxk , то размерность их произведения AB = C есть mxk.

Свойства умножения матриц

1.( λA)B= λ (AB) (ассоциативность);

2.(AB)C=A(BC) (ассоциативность);

3. произведение не коммутативно;

4. (A+B)C=AC+BC (дистрибутивность);

4) Транспонирование матриц. Транс. матрицы нзв матрица такая что , т е в исходной матрице А все строки и столбцы меняются местами сохраняя порядок.

Ранг матрицы – max порядок отличных от 0 миноров r(A)=rang(A).

Из Т. о базисном миноре следует, что ранг матрицы есть max число линейно независимых строк или столбцов. Находят ранг несколькими способами:

1. методом элементарных преобразований. Используют тот факт, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранг. Элементарные преобразования:

перестановка любых двух строк (столбцов)

умножение любой строки (столбца) на любое число, не равного 0

умножение любой строки (столбца) на любое число и прибавление полученного результата к любой строке (столбцу)

Используя элементарные преобразования, приводят матрицу к треугольному виду, более того можно привести к диагональному виду.

2. метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице найден M_k ≠0, тогда рассматривают лишь те миноры (k + 1) порядка, которые содержат в себе M_k.

Если все такие миноры = 0, то r(A) = k. Если же среди них M_k+1 ≠0, то процесс повторяется.

Вычисление ранга матрицы.

Рангом системы строк (столбцов) матрицы называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля. Ранг матрицы A обозначается rangA.

Теорема. (о базисном миноре). Базисные строки и столбцы линейно независимы. Любая другая строка или столбец матрицы являются линейной комбинацией базисных строк или столбцов.

Пусть r = rangA, — базисный минор матрицы A, тогда:

1. базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;

2. любая строка (столбец) матрицы A есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).

Нахождение обратной матрицы

1. По формулам:

Вычисляется det A,

Если det A 0, то вычисляется P=PA (Аij – алгебраическое дополнение),

В=РТ,

.

2. Метод исключения (на основе метода Гаусса)

Образуем систему линейных уравнений , (1)

АХ=У. (2)

X – неизвестные

Y – условно считаются известными.

По теореме Крамера система имеет единственное решение (так как )

Для построения обратной матрицы систему (2) решаем методом Гаусса, т.е. методом последовательного исключения:

,

Х=ВУ,

С другой стороны, с учетом (2) Х= А-1У. Так как решение единственно, то В= А-1.

Построение обратной матрицы

Теорема. Для каждой неособенной квадратной матрицы существует обратная, и притом только одна.

Док-во: Для того, чтобы построить обратную матрицу, необходимо

1. Найти определитель матрицы. Если этот определитель не равен нулю, то обратная матрица существует.

2. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы: А₁₁, А₁₂, … ,А_nn

3. Из этих алгебраических дополнений построить матрицу в соответствии с указанными индексами

4. Транспонировать указанную матрицу

5. Разделив матрицу эту матрицу на определитель матрицы Δ = det A

получим обратную матрицу

Матричный способ решения СЛАУ

Систему линейных алгебраических уравнений

посредством введения матричных обозначений

, ,

и правил действия над матрицами можно представить в матричном виде A·X = B. Умножим это матричное уравнение на обратную матрицу А^-1 слева:

A^-1·A·X = A^-1·B

По свойству обратной матрицы A^-1·A = E имеем далее

A^-1·A·X = E·X = X = A^-1·B

Таким образом, для того чтобы найти вектор решения системы линейных алгебраических уравнений, необходимо вектор – столбец свободных элементов системы умножить слева на обратную матрицу коэффициентов системы.