- •1 Задания Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •2 Методика выполнения
- •2.3 Разработка измерительного канала для фотоэлектрического датчика
- •Определить необходимые коэффициенты передачи датчика для контроля положения Nдп и скорости Nдс.
- •Построить разрядную сетку преобразователя.
- •Разработать функциональную схему преобразования последовательности импульсов в код.
1 Задания Задание 1
Обработать результаты многоразовых измерений прибором, имеющим класс точности Kv, проверить их соответствие нормальному закону распределения, исключить анормальные результаты измерений, вычислить наиболее вероятное значение измеряемой величины и его суммарную ошибку.
Варианты заданий приведены в таблице А.2.
Задание 2
С применением метода наименьших квадратов по выборочным данным эксперимента (таблица А.3) построить график зависимости y = f[x], которая аппроксимирует выборочные данные.
Задание 3
Разработать измерительный канал с преобразователем перемещения – код для ротационного фотоэлектрического датчика Д, обеспечивающего контроль параметров движения рабочего органа Р0 (рис. 1) по координатам положения и скорости. При расчетах принять шаг винта Sв = 10 мм.
Исходные данные приведены в Приложении А.4.
При разработке измерительного канала решить следующие задачи:
Определить необходимые коэффициенты передачи датчика для контроля положения Nдп и скорости Nдс.
Построить разрядную сетку преобразователя.
Разработать функциональную схему преобразования последовательности импульсов в код.
Рисунок 1 – Кинематическая схема привода
Задание 4
Разработать канал аналого-цифрового преобразования (АЦП) температуры в диапазоне Dt с приведенной погрешностью t. Выбрать датчик и составить функциональную схему канала. Варианты заданий даны в табл. А.5.
2 Методика выполнения
2.1 Обработка результатов измерений
Дана выборка n = 9 результатов измерений: 75,2; 74,8; 75,0; 76,2; 75,1; 74,8; 74,7; 74,6; 75,0.
Вольтметр имеет класс точности Kv = 0,2 и шкалу от 0 до Uvn = 150В.
Для проверки соответствия выборочных значений (вариантов) нормальному закону распределения и исключения анормальных наблюдений применим графоаналитический метод: для данных наблюдений построим график эмпирического распределения. Если точки этого графика будут расположены приблизительно на прямой линии, можно будет принять гипотезу о нормальном распределении выборочных значений и применить аппарат математической статистики для оценки результата и статистической ошибки.
Упорядочим выборку, разместив результаты измерений в порядке их возрастания. При этом для повторяющихся значений укажем только их количество mj. После этого вычислим интеграл Лапласа и по таблице А.6 найдем значение функции .
Интеграл Лапласа вычисляется по формуле , где – накопленная частота на j-м значении.
Результаты вычислений сведены в таблицу 1.
Таблица 1
Номер значений |
Xj |
mj |
Mj |
Ф(Zj) |
Zj (по табл. А.6) |
1 |
74,6 |
1 |
1 |
-0,4 |
-1,28 |
2 |
74,7 |
1 |
2 |
-0,3 |
-0,84 |
3 |
74,8 |
2 |
4 |
-0,1 |
-0,25 |
4 |
75,0 |
2 |
6 |
0,1 |
0,25 |
5 |
75,1 |
1 |
7 |
0,2 |
0,52 |
6 |
75,2 |
1 |
8 |
0,3 |
0,84 |
7 |
76,2 |
1 |
9 |
0,4 |
1,28 |
Значения mj и Mj определяются простым подсчетом значений.
Интеграл Лапласа:
j = 1; Ф(Z1) = -0,5 = -0,4;
j = 2; Ф(Z2) = -0,5 = -0,3;
j = 3; Ф(Z3) = -0,5 = -0,1;
j = 4; Ф(Z4) = -0,5 = 0,1;
j = 5; Ф(Z5) = -0,5 = 0,2;
j = 6; Ф(Z6) = -0,5 = 0,3;
j = 7; Ф(Z7) = -0,5 = 0,4;
Определив значения Zj по табл. А.6, построим график функции Zj = f(xj) (рис.2).
Как видно из графика, точка 7 является анормальным результатом, так как находится на значительном удалении от прямой, проходящей через множество точек j = 1…6.
Произведем проверку этого вывода. Определим среднее арифметическое:
.
Найдем среднеквадратическое значение:
S=
Определим показатель анормальности
,
где xан – анормальный результат.
.
По табл. А.7 для n = 9 при уровне вероятности P = 0,95 находим допустимое значение t = 2,30.
Поскольку V > t, результат xj = 76,2 является анормальным, и его следует исключить.
Далее обработку результатов производим для n = 8 (без x7).
Определим среднее арифметическое значение результатов, как наиболее вероятное:
.
Определим среднеквадратичное значение
.
Значение – критерия Стьюдента, определяющего границу случайной ошибки результата,
εсл = tγ·Sx,
определим по табл.А.8 для n = 8 и доверительной вероятности P = 0,95:
= 2,37.
Тогда εсл = 2,37·0,07 = 0,17В.
Инструментальная ошибка прибора, определяемая классом точности прибора, равна
.
Общая ошибка относительно наиболее вероятного результата будет определяться в зависимости от соотношения εи/Sx. Если εи/vSx<0,8, то εи можно пренебречь, так как она поглощается случайной ошибкой εсл. Если εи/Sx>8, то тогда можно пренебречь εсл.
В нашем случае
.
Определим общую ошибку по формуле
Δх = k SΣ,
где – коэффициент приведения ошибок;
– суммарное среднеквадратическое отклонение.
Вычислим коэффициент приведения случайной и инструментальной ошибок
.
Вычислим SΣ:
.
Тогда суммарная ошибка равна
Δx = 1,96·0,18 = 0,35В.
Итак, результат измерения при доверительной вероятности P = 0,95 равен
U = (74,9 ± 0,35) B.
2.2 Применение метода наименьших квадратов для определения коэффициентов линейной функции
По результатам совместных измерений параметров x и y определить функцию
,
для которой отклонения от экспериментальных данных
будут минимальны по критерию Е2:
.
Решение
Исходные данные приведены в табл.2.
Таблица 2
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
xi |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
yi |
7,2 |
7,4 |
8,4 |
9,3 |
11,8 |
12,5 |
Для решения задачи применяем метод наименьших квадратов (МНК).
Так как в точке x1= 0 y ≠ 0 и при равномерном шаге Δхi = 2 прироста функции х функция y изменяется приблизительно линейно, принимаем линейную аппроксимацию результатов измерений функцией
y(x) = a0 + a1x.
В этом случае отклонения результатов эксперимента yi от расчетных значений описываются выражением
.
Тогда условие минимума Е2 принимает вид
.
Достижение этого условия возможно только путем изменения коэффициентов а0 и а1. Учитывая, что производная для минимума функции ошибки должна быть равна нулю относительно расчетных коэффициентов а0 и а1, запишем:
(1)
Произведя суммирование и перестановку, получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов:
(2)
Для упрощения расчетов введем обозначения:
– среднее значение аргументов;
– среднее значение квадратов аргументов;
– среднее значение функции;
– среднее значение произведений функции и аргументов.
Тогда система уравнений (2) преобразуется в следующую систему:
(3)
Искомые значения коэффициентов определяются решением системы уравнений (3):
Вычислим неизвестные для заданных условий:
1
2
3
4
Вычислим коэффициенты:
Таким образом, аппроксимирующая функция имеет вид
y = 6,45+0,59x.
Построим график этой функции (рис.3).
Рисунок 3 – График функции
Доверительные границы коэффициентов определяются интервалом
где j = 0,1…m – порядковый номер коэффициента;
tγ – критерий Стьюдента, определяемый для доверительной вероятности Р = 0,95 или Р = 0,99 и числа степеней свободы n – m (в нашем случае 6 – 1 = 5);
σаj – среднеквадратическое отклонение коэффициентов, получаемое в результате обработки нескольких выборок.
Учитывая, что задана одна выборка, доверительная граница коэффициентов не определена.