- •1Структура линейного преобразования.
- •1.1Аннулирующий многочлен вектора, пространства
- •1.2Расщепление пространства в прямую сумму инвариантных подпространств
- •1.3Корневые подпространства.
- •1.4Жорданова клетка. Циклический базис. Циклические пространства.
- •1.5Жорданов базис, существование и единственность.
- •1.6Построение Жорданова базиса.
- •2 Алгебра, полугруппы, группы
- •2.1Отношение, операция, алгебра.
- •2.2Полугруппа
- •2.3Группа, подгруппа
- •2.4Изоморфизм групп.
- •2.5Смежные классы, теорема Лагранжа
- •2.6Циклические группы.
- •Циклические группы одинаковых порядков изоморфны между собой.
- •Циклическая группа бесконечного порядка изоморфна группе целых чисел.
- •Любая подгруппа циклической группы циклическая.
- •2.7Нормальный делитель, факторгруппа.
- •2.8Гомоморфизм групп.
- •2.9Нормальный ряд
- •2.10Простота знакопеременной группы
- •3Кольцо, подкольцо, идеал, факторкольцо.
- •3.1Кольцо
- •3.2.4Поле частных
- •3.3Идеал, факторкольцо.
- •3.3.1Кольцо вычетов.
- •3.3.2Присоединение корня многочлена.
- •3.4Гомоморфизм колец.
- •4Характеристика поля. Конечные поля.
- •4.1Характеристика тела, поля.
- •4.2Простые расширения полей
- •4.3Конечные поля.
- •5Теория Галуа
- •6.1Кольцо матриц. Эквивалентность матриц.
- •Перестановка строк
- •Умножение строки на обратимый элемент кольца
- •Прибавление к строке строки , умноженной на элемент кольца .
- •6.2Кольцо многочленов с матричными коэффициентами.
2.6Циклические группы.
Множество элементов из группы G называется порождающим, если G получается замыканием этого множества относительно групповой операции.
Группа, порожденная одним элементом, называется циклической.
Следствие 2.10. Любая группа содержит циклическую подгруппу.
Доказательство. Пусть a –элемент группы G. Множество является циклической подгруппой.
Порядок циклической подгруппы, порожденной элементом a, называется порядком элемента.
Свойство 2.14. Если элемент a имеет порядок n, то an=e.
Доказательство. Рассмотрим последовательность . Поскольку число членов в последовательности бесконечно, а для степеней элемента a существует конечное число возможностей, то в последовательности встретятся одинаковые члены. Пусть , где k<j и k первый повторяющийся член. Тогда , и значит, член k-j+1 повторяется. Следовательно, j=1 (иначе ). Таким образом, последовательность состоит из повторяющихся наборов вида и в ней k-1 различных элементов. Следовательно, k=n+1. Так как , то .
Порядок любого элемента является делителем порядка группы, следовательно, a|G|=e для любого элемента группы.
Следствие 2.11. Порядок группы делится без остатка на порядок любого элемента группы.
Доказательство очевидно.
Теорема 2.10 (о циклических группах)
Для любого натурального n существует циклическая группа порядка n.
Циклические группы одинаковых порядков изоморфны между собой.
Циклическая группа бесконечного порядка изоморфна группе целых чисел.
Любая подгруппа циклической группы циклическая.
Для каждого делителя m числа n (и только для них) в циклической группе n-го порядка существует единственная подгруппа порядка m.
Доказательство. Множество комплексных корней степени n из 1 относительно операции умножения образует циклическую группу порядка n. Тем самым первое утверждение доказано.
Пусть циклическая группа G порядка n порождена элементом a, а циклическая группа H, того же порядка, порождена элементом b. Соответствие взаимно однозначное и сохраняет операцию. Второе утверждение доказано
Циклическая группа бесконечного порядка, порожденная элементом a, состоит из элементов . Соответствие является взаимно однозначным и сохраняет операцию. Таким образом, третье утверждение доказано.
Пусть H – подгруппа циклической группы G, порожденной элементом a. Элементы H являются степенью a. Выберем в H элемент, который является наименьшей по абсолютной величине ненулевой степенью a. Пусть это элемент . Покажем, что этот элемент является порождающим в подгруппе H. Возьмем произвольный элемент из H. Произведение содержится в H при любом r. Выберем r равным частному от деления k на j, тогда k-rj есть остаток от деления k на j и, значит, меньше j. Поскольку в H нет элементов, которые являются не нулевой степенью a, меньше чем j, то k-rj=0, и . Четвертое утверждение доказано.
Пусть циклическая группа G порядка n порождена элементом a. Подгруппа, порожденная элементом , имеет порядок m. Рассмотрим подгруппу H порядка m. Выберем в H элемент, который является наименьшей по абсолютной величине ненулевой степенью a. Пусть это элемент . Покажем, что j=n/m. Элемент принадлежит H. Следовательно, отличное от нуля число вида rj-nv по абсолютной величине не меньше j, что возможно только если n делится на j без остатка. Подгруппа, порожденная , имеет порядок n/j=m, следовательно, j=n/m. Поскольку порождающий элемент подгруппы определяется однозначно по ее порядку, то пятое утверждение доказано.