Расчет электрического фильтра для четвертой гармоники

Требуется рассчитать полосовой фильтр для выделения четвертой гармоники при частоте генерируемых колебаний 5 Гц. Неравномерность ослабления в ПЭП ΔА=0,5 дБ, минимально допустимое ослабление в ПЭН A_min=26 дБ.

Частота 4-ой гармоники равна 20 кГц, следовательно f₀ = 20 кГц.

Найдем граничные частоты ПЭП и ПЭН.

ω₀=2πf_j=2•3,14•20000=125600 рад/с.

Так как , то задавшись f₃ =22 кГц, т.е. ω₃=138160 рад/с, найдем ω’₃; ω’₃=ω²₀/ω₃=114182 рад/сек. Учитывая соотношение , определим

Δω= ω₂-ω’₂ = =8564 рад/с.

Решая совместно систему

,

получаем

ω’₂= 121391 рад/с;

ω₂=129955 рад/с.

Таким образом граничные частоты:

f₂=20,694 кГц (ω₂=129955 рад/с);

f’₂=19,33 кГц (ω’₂=121391 рад/с);

f₃=22 кГц (ω₃=138160 рад/с);

f’₃=18,182 кГц (ω’₃=1114182рад/с).

Пользуясь методическими указаниями найдем полюсы передаточной функции НЧ-прототипа: S₁=-0,626457 ;S_2,3=-0,313228±j1,021928

Для отыскания полюсов передаточной функции воспользуемся соотношением:

,

Полученные значения полюсов представим в таблице:

Таблица 8 Полюсы H(p) полосового фильтра

Номер полюса	Полюсы H(p) полосового фильтра
	α	±jω
1,2	-2684,45	125635,03
3,6	-1388,97	130111,93
4,5	-1295,48	121353,73

Передаточная функция может быть записана в виде произведения трех сомножителей третьего порядка

,

где

Коэффициенты при p в знаменателях сомножителей a_i=2α_i, а свободные члены a_i= a²_i + ω²_i. Их значения в таблице ниже:

Таблица 9 коэффициенты H(p) полосового фильтра

Номер сомножителя	Значения коэффициентов
	bi	ai	a0i
1	7666	5369	15791367042
2	7666	2778	16931042325
3	7666	2591	14728406453

Тогда передаточная функция запишется так:

Для реализации полученной передаточной функции необходимо выбрать тип звеньев, для чего найдем вначале добротность полюсов соответствующих сомножителей, используя соотношение

.

В результате расчетов получим Q1=23,41; Q2=46,84; Q3=46,84.

Рассчитаем элементы 1-ого звена:

Т.к. значения добротностей для всех звеньев больше 10 то, для реализации всех сомножителей выбираем схему приведенную ниже:

Рисунок 16. Схема принципиальная электрическая 1-го 2-го и 3-го звеньев полосового фильтра

Ее предаточная функция :

Для отыскания элементов звена, соответствующего первоначальному сомножителю H(p), составим систему уравнений:

Зададимся C₆=C₇=C=5 нФ. Здесь ω_п – частота полюса, определяемая для данного сомножителя, как

рад/с.

Таким образом

R₁= R₂= 1 / C=1,592 кОм.

Решая систему относительно элементов R₅, R₃, R₄ получим:

R₃=3,721 кОм, R₄=17,02 кОм, R₅=37,251кОм.

Поступая аналогичным образом найдем элементы третьего звена, а результаты вычислений сведем в таблицу:

Таблица 10 – Рассчитанные значения элементов полосового фильтра

Элементы 1-ого звена
R25, кОм	R26, кОм	R27, кОм	R28, кОм	R29, кОм	С30, нФ	С31, нФ
1,592	1,592	3,721	17,02	37,251	5	5
Элементы 2-ого звена
R25, кОм	R26, кОм	R27, кОм	R28, кОм	R29, кОм	С30, нФ		С31, нФ
1,537	1,537	0,834	2,833	71,99	5		5
Элементы 3-ого звена
R32, кОм	R33, кОм	R34, кОм	R35, кОм	R36, кОм	С37, нФ		С38, нФ
1,648	1,648	0,557	4,876	77,19	5		5

Для расчета АЧХ и ослабления фильтра в выражении H(p) осуществим замену p=jω, тогда |H(jω)| запишется так:

Ослабление фильтра связано с АЧХ выражением:

.

Найдем частоты ПЭП, при которых А и АЧХ принимают максимальные значения. Из таблицы в методических указаниях для характеристик НЧ-прототипа имеем при n=3 Ω_1min=0; Ω_1max=0,5; Ω_2min=0,866; Ω_2max=1.

Для нахождения соответствующих частот характеристики ПФ воспользуемся соотношениями:

,

.

Результаты расчетов АЧХ и ослабления отдельных звеньев и всего фильтра удобно свести в таблицу 11.

Полученная частотная зависимость ослабления удовлетворяет заданным нормам ΔА и А_min.

По результатам расчетов построим графики ФЧХ (рисунок 22) и зависимость ослабления от частоты полосового фильтра (рисунок 23).

Таблица 11 Результаты расчета характеристик фильтра

ω	ω'3	ω'2	ωmin1	ωmax1	ω0	ωmax2	ωmin2	ω2	ω3
f, кГц	18,18	19,33	19,42	19,66	20	20,34	20,6	20,69	22
|H(jω)|1	0,31	0,76	0,84	1,11	1,43	1,12	0,84	0,76	0,31
|H(jω)|2	0,22	0,42	0,45	0,55	0,81	1,41	2,77	2,75	0,48
|H(jω)|3	0,51	2,95	2,64	1,53	0,87	0,6	0,48	0,45	0,24
A1, дБ	10,12	2,4	1,53	-0,93	-3,09	-0,99	1,55	-2,37	10,12
A2, дБ	12,96	7,49	6,9	5,12	1,85	-2,97	-7,87	-8,78	6,38
A3, дБ	5,78	-9,4	-8,43	-3,68	1,24	4,47	6,31	6,87	12,35
|H(jω)| фильтра	0,04	0,94	1	0,94	1	0,94	1	0,96	0,04
Афильтра, дБ	28,86	0,5	0	0,5	0	0,5	0	0,5	28,86

Рисунок 22. график зависимости |H(jω)|=F(f) полосового фильтра

Рисунок 23. График зависимости A=F(f) полосового фильтра.