- •Предмет, мета і завдання дисципліни
- •Лабораторна робота №1 на тему: „ Обчислення абсолютної та відносної похибок заданої функції ”.
- •Теоретичні відомості.
- •Приклад виконання лабораторної роботи.
- •Лабораторна робота №2 на тему: „ Розв’язуння системи лінійних алгебраїчних рівнянь ”.
- •Теоретичні відомості.
- •Приклад виконання лабораторної роботи.
- •Лабораторна робота №3 на тему: „Інтерполяція функцій”.
- •Теоретичні відомості.
- •Приклад виконання лабораторної роботи.
- •Лабораторна робота №4 на тему: „Апроксимація функцій. Метод найменших квадратів”.
- •Теоретичні відомості.
- •Емпірична функція будується в два етапи:
- •Визначення параметрів емпіричної залежності. Метод найменших квадратів.
- •Визначення параметрів лінійної емпіричної залежності.
- •Визначення параметрів квадратичної емпіричної залежності.
- •Приклад виконання лабораторної роботи.
- •Порядок виконання в ms Excel:
- •Квадратична залежність
- •Приклад визначення параметрів емпіричних залежностей у MathCad.
- •Лабораторна робота №5
- •Теоретичні відомості.
- •Методи уточнення коренів.
- •А) метод поділу відрізка навпіл (бісекцій)
- •Б) метод Ньютона (дотичних)
- •В) метод простої ітерації
- •Приклад виконання лабораторної роботи.
- •Лабораторна робота №6
- •Теоретичні відомості.
- •Формула прямокутників.
- •Формула Симпсона.
- •Лабораторна робота №7 на тему: „ Розв’язання звичайних диференціальних рівнянь ”.
- •Теоретичні відомості.
- •Реалізація метода Ейлера в середовищі ет Excel.
- •Реалізація метода Рунге-Кутта в середовищі ет Excel.
- •Контрольні питання
- •Додатки Контрольні завдання
- •Література
- •Інформаційні технології в інженерних розрахунках Методичні вказівки
Реалізація метода Ейлера в середовищі ет Excel.
Ввести в комірку А1 текст Рішення звичайних диференціальних рівнянь методом Ейлера.
Ввести у відповідні комірки текстові дані:
Комірка: Текст:
А2 n=5
D2 n=10
G2 n=20
A3 x
B3 y(x)
D3 x
E3 y(x)
G3 x
H3 y(x)
Ввести в комірку А4 значення x0 (значення 1).
Ввести в комірку А5 значення x0+h (значення ).
Виділити комірки А4:А5 і перетягнути маркер заповнення до комірки А9 для заповнення таблиці значеннями x.
В комірку В4 ввести початкове значення y0 (значення 0,3).
В комірку В5 ввести формулу методу Ейлера ( =B4+(A5-A4)*(SIN(A4)+0,5*B4^2) ).
Скопіювати формулу з комірки В5 в комірки В6:В9 .
Аналогічно заповнити таблиці для n=10 та n=20 (п.1.3-п.1.8).
В режимі формул таблиця має вигляд
Реалізація метода Рунге-Кутта в середовищі ет Excel.
Ввести в комірку А1 текст Рішення звичайних диференціальних рівнянь методом Рунге – Кутта.
Ввести у відповідні комірки текстові дані:
Комірка: Текст:
A3 x
B3 y(x)
Ввести в комірку А4 значення x0 (значення 1).
Ввести в комірку А5 значення x0+h (значення ).
Виділити комірки А4:А5 і перетягнути маркер заповнення до комірки А14 для заповнення таблиці значеннями x.
В комірку В4 ввести початкове значення y0 (значення 0,3).
Ввести в комірки C3:F3 відповідні заголовки К1, К2, К3, К4.
Ввести в комірку С4 формулу для К1 (=(A5-A4)*(SIN(A4)+0,5*B4^2) ).
Скопіювати цю формулу в комірки С5:С13.
Ввести в комірку D4 формулу для К2 (=(A5-A4)*(SIN(A4+(A5-A4)/2)+0,5*(B4+C4/2)^2) ).
Скопіювати цю формулу в комірки D5:D13.
Ввести в комірку E4 формулу для К3 (=(A5-A4)*(SIN(A4+(A5-A4)/2)+0,5*(B4+D4/2)^2)).
Скопіювати цю формулу в комірки E5:E13.
Ввести в комірку F4 формулу для К4 ( =(A5-A4)*(SIN(A4+(A5-A4))+0,5*(B4+E4)^2) ).
Скопіювати цю формулу в комірки F5:F13.
В комірку В5 ввести формулу методу Рунге – Кутта ( =B4+1/6*(C4+2*D4+2*E4+F4) ).
Скопіювати цю формулу в комірки B6:B14.
Реалізація рішення задачі Коші в середовищі MathCad.
Для наближеного чисельного розв’язування задачі Коші МП MathCad має вбудовану функцію rkfixed(y0,a,b,n,f), що реалізує метод Рунге – Кутта з фіксованим кроком. Звертання до неї здійснюється оператором
,
де y0 початкове значення розв’язку;
a,b кінці інтервалу, на якому потрібно обчислити розв’язок рівняння (a=x0);
n кількість частин, на які розбивають відрізок [a,b];
f ім’я правої частини диференціального рівняння (39).
Розв’язки, що отримаємо для випадків коли n=5, n=10 та n=20 відповідно назвемо Y1, Y2, Y3. встановимо початкове значення індексів масивів рівним одиниці оператором
Задамо початкову умову:
Запишемо праву частину заданого диференціального рівняння у вигляді
Зауваження: зверніть увагу на те, що в правій частині запису ім’я невідомої функції з індексом y1. Це тому, що вбудовані в MathCad процедури розв’язування диференціальних рівнянь призначені для систем. В нашому випадку маємо “систему” із одного рівняння із однією невідомою функцією y1(x). В лівій же частині запису початкової умови y01 пишемо також з індексом
Знайдемо три розв’язки задачі Коші (n=5, n=1 та n=20)
Результат розв’язування рівняння подається у вигляді таблиці (матриці)
При побудові графіків отриманих розв’язків, в ролі аргументу виступають перші стовпчики таблиць Y1<1>, Y2<1>, Y3<1>, а на осі ординат вказуємо значення других стовпчиків (значення розв’язку рівнянь у відповідних вузлах) Y1<2>, Y2<2>, Y3<2> .
Оцінка похибки здійснюється за принципом Рунге